Fórmula de Mason – Ejercicio resuelto 2. -

Obtener la función de transferencia G_(s)=C_(s)/R_(s) del diagrama de bloques de la Figura 3, empleando la fórmula de Mason.

Ya hemos resuelto este ejercicio mediante la reducción de diagramas de bloques en el siguiente link: Diagrama de Bloques – Ejercicio resuelto 3. Ahora lo haremos utilizando la Fórmula de Mason.

Obtención de C_(s)/R_(s) por fórmula de Mason:

Primer paso: Obtenemos la Gráfica de flujo de señal.

Segundo paso: Determinamos el valor de los parámetros de la Fórmula de Mason.

\boldsymbol M = \frac{\boldsymbol C(\boldsymbol s)}{\boldsymbol R(\boldsymbol s)} = \frac{1}{ \bigtriangleup }\sum_{\boldsymbol k = 1}^{\boldsymbol N}\boldsymbol M_{\boldsymbol k}\bigtriangleup_{\boldsymbol k}

Cálculo de N: de la gráfica de flujo de la señal se extrae que existen tres caminos directos (N=3);

Cálculo de M_k:

M_1 = G_2G_5G_6;\ \ M_2 = G_3G_5G_6;\ \ M_3 = G_4G_6

Cálculo del bucles: Existen cuatro bucles (i=6), cada uno de ganancia B_i:

B_1 = G_2( - G_1);\ \ B_2 = G_3( - G_1);\ \ B_3 = G_2G_5G_6( - G_7);\ \ B_4 = G_4G_6( - G_7);\ \ B_5 = G_6( - 1)

B_6 = G_3G_5G_6( - G_7)

Los bucles de ganancia B₁ y B₅, no se tocan. Igualmente, no se tocan B₂ y B₅. No existe ningún bucle que no toque los caminos directos. Por tanto:

Cálculo\ de\ \bigtriangleup;\ \ \ \ \ \bigtriangleup = 1 + G_1G_2+ G_1G_3+ G_1G_2G_6+ G_1G_3G_6 +G_6+G_4G_6G_7+G_2G_5G_6G_7+G_3 G_5G_6G_7

Tercer paso: Cálculo de M.

\boldsymbol M = \frac{1}{ \bigtriangleup }\sum_{\boldsymbol k = 1}^{\boldsymbol N}\boldsymbol M_{\boldsymbol k}\bigtriangleup_{\boldsymbol k}

\bigtriangleup_{\boldsymbol k}=1\ para\ todo \ valor \ de\ k

\boldsymbol M = \frac{G_2G_5G_6+ G_3G_5G_6+ G_4G_6}{1 + G_1G_2+ G_1G_3+ G_1G_2G_6+ G_1G_3G_6 +G_6+G_4G_6G_7+G_2G_5G_6G_7+G_3 G_5G_6G_7}

En definitiva se confirma que la función de transferencia G_(s)=C_(s)/R_(s) de la Figura 3 es:

Anexo: Fórmula de Mason.

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