Función de Transferencia S. MRA – Ejercicio resuelto 5 -

Ejercicio FT-4: Obtener la Función de Transferencia H_1(s)=Y_1(s)/U_(s) y H_2(s)=Y_2(s)/U_(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 12.

Obtención de la ecuación del sistema. Dinámica del sistema.

Las fuerzas que intervienen en el movimiento (o dinámica) del sistema son las siguientes:

Paso 1. Identificar todas las fuerzas que intervienen en el sistema (utilizar diagrama de cuerpo libre puede ayudar a identificar dichas fuerzas). Simultáneamente, expresar matemáticamente dichas fuerzas utilizando las leyes de la física.

La fuerza F_resorte se calcula mediante la Ley de Hooke. Por inercia, la masa m se opone a cambiar su estado de movimiento mediante una F_masa.

La constante de fricción viscosa b genera la fuerza F_amortiguador. La fuerza de roce con el piso es nula. La fuerza externa F_externa se ejerce directamente sobre la masa m₂ , y es denominada u(t) en el esquema mecánico.

Las unidades utilizadas son: x: desplazamiento (m) ; t: tiempo (s); k: constante de elasticidad (N/m); m: unidad de masa. (N-s²/m)

b: constante de fricción viscosa. (N-s/m); u(t): Fuerza (N)

\boldsymbol F_{\boldsymbol r\boldsymbol e\boldsymbol s\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol e1} = \boldsymbol k_1\boldsymbol y_1(\boldsymbol t)

\boldsymbol F_{\boldsymbol r\boldsymbol e\boldsymbol s\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol e2} = \boldsymbol k_2\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)

\boldsymbol F_{\boldsymbol a\boldsymbol m\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol i\boldsymbol g\boldsymbol u\boldsymbol a\boldsymbol d\boldsymbol o\boldsymbol r1 } = \boldsymbol b\frac{\boldsymbol d\boldsymbol y_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t}

\boldsymbol F_{\boldsymbol a\boldsymbol m\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol i\boldsymbol g\boldsymbol u\boldsymbol a\boldsymbol d\boldsymbol o\boldsymbol r 2} = \boldsymbol b\frac{\boldsymbol d\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t}

\boldsymbol F_{\boldsymbol m\boldsymbol a\boldsymbol s\boldsymbol a1} = \boldsymbol m_1\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}

\boldsymbol F_{\boldsymbol m\boldsymbol a\boldsymbol s\boldsymbol a2} = \boldsymbol m_2\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}

\boldsymbol F_{\boldsymbol e\boldsymbol x\boldsymbol t\boldsymbol e\boldsymbol r\boldsymbol n\boldsymbol a} = \boldsymbol u(\boldsymbol t)

Paso 2. Aplicar la segunda Ley de Newton a cada masa por separado de la Figura 12. La primera fila de la derecha es la Ecuación de Equilibrio de fuerzas. Aplicar dicha ecuación por separado a cada masa genera dos ecuaciones de sistema. Las ecuaciones (1) y (2) son La Dinámica del Sistema.

\sum \boldsymbol F_1 = \boldsymbol m_1\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}

- \boldsymbol k_1\boldsymbol y_1(\boldsymbol t) - \boldsymbol b\frac{\mathbf d\boldsymbol y_1(\boldsymbol t)}{\mathbf d\boldsymbol t} + \boldsymbol b\frac{\boldsymbol d\boldsymbol y_2\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} = \boldsymbol m_1\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_1\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2};\ \ \ \ \ \ (1)

\sum \boldsymbol F _2= \boldsymbol m_2\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}

\boldsymbol b\frac{\mathbf d\boldsymbol y_1\left(\boldsymbol t\right)}{\mathbf d\boldsymbol t} - \boldsymbol k_2\boldsymbol y_2\left(\boldsymbol t\right) - \boldsymbol b\frac{\boldsymbol d\boldsymbol y_2\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} + \boldsymbol u(\boldsymbol t)=\boldsymbol m_2\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2} ;\ \ \ \ \ \ (2)

Obtención de Y_1(s)/U_(s) y Y_2(s)/U_(s).

Paso 3 . Suponiendo todas las condiciones iniciales iguales a cero, se aplican las propiedades de la Transformada de Laplace a cada término de las ecuaciones (1) y (2). Obtenemos las ecuaciones (3) y (4):

- \boldsymbol k_1\boldsymbol Y_1(\boldsymbol s) - \boldsymbol b\boldsymbol s\boldsymbol Y_1(\boldsymbol s) + \boldsymbol b\boldsymbol s\boldsymbol Y_2(\boldsymbol s) = \boldsymbol m_1\boldsymbol s^2\boldsymbol Y_1\left(\boldsymbol s\right);\ \ \ \ \ \ (3)

\boldsymbol b\mathbf s\boldsymbol Y_1(\boldsymbol s) - \boldsymbol k_2\boldsymbol Y_2(\boldsymbol s) - \boldsymbol b\boldsymbol s\boldsymbol Y_2(\boldsymbol s) + \boldsymbol U(\boldsymbol s) = \boldsymbol m_2s^2\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right)\ \ \ \ \ \ (4)

Paso 4. Se agrupan de manera conveniente los términos de las ecuaciones (3) y (4) y obtenemos las ecuaciones (5) y (6). Cómo se puede intuir, la intención es ordenar para crear un sistema de ecuaciones clásico que permita aplicar álgebra lineal (álgebra de matrices). Se debe tener especial cuidado en el orden del despeje. Observar que la ecuación (5) es el resultado de trasladar los términos del lado izquierdo de la ecuación (3) al lado derecho, excepto la transformada de Laplace de la entrada. Lo mismo debe hacerse entonces con la ecuación (4): sus términos del lado izquierdo se trasladan al lado derecho, y es por eso que en la ecuación (6) aparecen con signos contrarios.

\left(\boldsymbol m_1\boldsymbol s^2 + \boldsymbol b\boldsymbol s + \boldsymbol k_1\right)\boldsymbol Y_1(\boldsymbol s) - \boldsymbol b\boldsymbol s\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right) = 0\ \ \ \ \ \ (5)

- \boldsymbol b\boldsymbol s\boldsymbol Y_1(\boldsymbol s) + \left(\boldsymbol m_2\boldsymbol s^2 + \boldsymbol b\boldsymbol s + \boldsymbol k_2\right)\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right) = \boldsymbol U(\boldsymbol s)\ \ \ \ \ \ (6)

Paso 5 . Para aplicar álgebra lineal, utilizamos las ecuaciones (5) y (6) generadas por la transformada de Laplace para crear el siguiente sistema matricial [A][B]=[C] :

\left[A\right]\left[B\right] = \left[C\right]

\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol m_1\boldsymbol s^2 + \boldsymbol b\boldsymbol s + \boldsymbol k_1 & - \boldsymbol b\boldsymbol s \\ - \boldsymbol b\boldsymbol s & \boldsymbol m_2\boldsymbol s^2 + \boldsymbol b\boldsymbol s + \boldsymbol k_2 \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol Y_1(\boldsymbol s) \\ \boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right) \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 \\ \boldsymbol U(\boldsymbol s) \\ \end{array}\right]

Paso 6 . Obtenemos el determinante de la matriz A :

\bigtriangleup_{\boldsymbol A}:determinante\ de\ la\ matriz\ A

\bigtriangleup_{\boldsymbol A}=\boldsymbol m_1\boldsymbol m_2\boldsymbol s^4 + \boldsymbol b\left(\boldsymbol m_1 + \boldsymbol m_2\right)\boldsymbol s^3 + \left(\boldsymbol k_2\boldsymbol m_1 + \boldsymbol k_1\boldsymbol m_2\right)\boldsymbol s^2 + \boldsymbol b\left(\boldsymbol k_1 + \boldsymbol k_2\right)\boldsymbol s + \boldsymbol k_1\boldsymbol k_2

Cálculo del determinante de la matriz A en Matlab.

Paso 7 . Al aplicar álgebra lineal a la matriz del paso 5, obtenemos Y₁(s) y Y₂(s) mediante las siguientes fórmulas. Obtenemos las ecuaciones (7) y (8):

\boldsymbol Y_1(s) = \frac{\left[\begin{array}{cc} 0 & - \boldsymbol b\boldsymbol s \\ \mathbf U(\mathbf s) & \boldsymbol m_2\boldsymbol s^2 + \boldsymbol b\boldsymbol s + \boldsymbol k_2 \\ \end{array}\right]}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}

\boldsymbol Y_1(s) = \frac{\boldsymbol U(\boldsymbol s)\boldsymbol b\boldsymbol s}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}\ \ \ \ \ \ (7)

\boldsymbol Y_2(\boldsymbol s) = \frac{\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol m_1\boldsymbol s^2 + \boldsymbol b\boldsymbol s + \boldsymbol k_1 & 0 \\ - \boldsymbol b\boldsymbol s & \boldsymbol U(\boldsymbol s) \\ \end{array}\right]}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}

\boldsymbol Y_2(\boldsymbol s) = \frac{\boldsymbol U(\boldsymbol s)\left(\boldsymbol m_1\boldsymbol s^2 + \boldsymbol b\boldsymbol s + \boldsymbol k_1\right)}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}\ \ \ \ \ \ (8)

De las ecuaciones (7) y (8) se deduce por despeje que las funciones de transferencia H_1(s)=Y_1(s)/U_(s) y H_2(s)=Y_2(s)/U_(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 12 son:

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ANEXOS

Cálculo del determinante de la matriz A en Matlab:

>> s=sym('s');
>> k1=sym('k1');
>> k2=sym('k2');
>> m1=sym('m1');
>> m2=sym('m2');
>> b=sym('b');

>> A=[m1*s^2+b*s+k1 -b*s;-b*s m2*s^2+b*s+k2]
 
A =
 
[m1*s^2 + b*s + k1,              -b*s]
[             -b*s, m2*s^2 + b*s + k2]
 
>> delta =det(A)
 
delta =k1*k2 + b*m1*s^3 + b*m2*s^3 + k1*m2*s^2 + k2*m1*s^2 + m1*m2*s^4 + b*k1*s + b*k2*s

                     %este es un comentario... Por lo tanto:
    ∆ = m1*m2*s^4 + b*(m1+ m2)*s^3 + (k1*m2 + k2*m1)*s^2 + b*(k1+k2)*s + k1*k2

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