Ejercicio FT-7: Obtener el diagrama de bloques del sistema y luego utilizar álgebra de bloques para Obtener la Función de Transferencia H2(s)=Y2(s)/U(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 67, a partir del diagrama de bloques obtenido.
Obtención de la ecuación del sistema. Dinámica del sistema.
Las fuerzas que intervienen en el movimiento (o dinámica) del sistema son las siguientes:
Paso 1. Identificar todas las fuerzas que intervienen en el sistema (utilizar diagrama de cuerpo libre puede ayudar a identificar dichas fuerzas). Simultáneamente, expresar matemáticamente dichas fuerzas utilizando las leyes de la física.
La fuerza Fresorte se calcula mediante la Ley de Hooke. Por inercia, la masa m se opone a cambiar su estado de movimiento mediante una Fmasa.
La constante de fricción viscosa b genera la fuerza Famortiguador. La fuerza de roce con el piso es nula. La fuerza externa Fexterna se ejerce directamente sobre la masa m1 , y es denominada u(t) en el esquema mecánico.
Las unidades utilizadas son: x: desplazamiento (m) ; t: tiempo (s); k: constante de elasticidad (N/m); m: unidad de masa. (N-s2/m)
b: constante de fricción viscosa. (N-s/m); u(t): Fuerza (N)
\boldsymbol F_{\boldsymbol r\boldsymbol e\boldsymbol s\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol e1} = \boldsymbol k_1\boldsymbol y_1(\boldsymbol t)\boldsymbol F_{\boldsymbol r\boldsymbol e\boldsymbol s\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol e2} = \boldsymbol k_2\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)\boldsymbol F_{\boldsymbol a\boldsymbol m\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol i\boldsymbol g\boldsymbol u\boldsymbol a\boldsymbol d\boldsymbol o\boldsymbol r1 } = \boldsymbol b_1\frac{\boldsymbol d\boldsymbol y_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t}\boldsymbol F_{\boldsymbol a\boldsymbol m\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol i\boldsymbol g\boldsymbol u\boldsymbol a\boldsymbol d\boldsymbol o\boldsymbol r 2} = \boldsymbol b_2\frac{\boldsymbol d\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t}\boldsymbol F_{\boldsymbol m\boldsymbol a\boldsymbol s\boldsymbol a1} = \boldsymbol m_1\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}\boldsymbol F_{\boldsymbol m\boldsymbol a\boldsymbol s\boldsymbol a2} = \boldsymbol m_2\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}\boldsymbol F_{\boldsymbol e\boldsymbol x\boldsymbol t\boldsymbol e\boldsymbol r\boldsymbol n\boldsymbol a} = \boldsymbol u(\boldsymbol t)Paso 2. Aplicar la segunda Ley de Newton a cada masa por separado de la Figura 12. La primera fila de la derecha es la Ecuación de Equilibrio de fuerzas. Aplicar dicha ecuación por separado a cada masa genera dos ecuaciones de sistema. Las ecuaciones (1) y (2) son La Dinámica del Sistema.
\sum \boldsymbol F_1 = \boldsymbol m_1\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2} - \left(\boldsymbol k_1 + \boldsymbol k_2\right)\boldsymbol y_1(\boldsymbol t) - \boldsymbol b_1\frac{\mathbf d\boldsymbol y_1(\boldsymbol t)}{\mathbf d\boldsymbol t} + \boldsymbol k_2\boldsymbol y_2\left(\boldsymbol t\right) + \boldsymbol u(t) = \boldsymbol m_1\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_1\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2};\ \ \ \ \ \ (1)\sum \boldsymbol F _2= \boldsymbol m_2\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}\boldsymbol k_2\boldsymbol y_1\left(\boldsymbol t\right) - \boldsymbol k_2\boldsymbol y_2\left(\boldsymbol t\right) - \boldsymbol b_2\frac{\mathbf d\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)}{\mathbf d\boldsymbol t}= \boldsymbol m_2\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2} ;\ \ \ \ \ \ (2)Paso 3 . Suponiendo todas las condiciones iniciales iguales a cero, se aplican las propiedades de la Transformada de Laplace a cada término de las ecuaciones (1) y (2). Obtenemos las ecuaciones (3) y (4).
- \left(\boldsymbol k_1 + \boldsymbol k_2\right)\boldsymbol Y_1(\boldsymbol s) - \boldsymbol b_1\boldsymbol s\boldsymbol Y_1\left(\boldsymbol s\right) + \boldsymbol k_2\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right) + \boldsymbol U(\boldsymbol s) =\boldsymbol m_1s^2\boldsymbol Y_1(\boldsymbol s);\ \ \ \ \ \ (3)
\boldsymbol k_2\boldsymbol Y_1\left(\boldsymbol s\right) - \boldsymbol k_2\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right) - \boldsymbol b_2\boldsymbol s\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right) = \boldsymbol m_2\boldsymbol s^2\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right) ;\ \ \ \ \ \ (4)
Obtención del Diagrama de Bloques del sistema.
Paso 4 . La clave para elaborar el diagrama de bloques a partir de las ecuaciones (3) y (4) (transformada de Laplace de las ecuaciones del sistema), es iniciar por la representación en diagrama de bloques de las variables del sistema que están derivadas. En este caso, las variables derivadas son y1(t) y y2(t) . Obtenemos las siguientes ramas que representan dicho proceso de derivación en el dominio transformado.
A partir de aquí debemos decidir cual variable será la salida del sistema, porque dependiendo de ello obtendremos diferentes dibujos. De acuerdo con lo que nos pide el enunciado, nos conviene que la variable de salida sea Y2(s) . Entonces, colocamos esa rama al final del diagrama.
Paso 5 . Despejar S2Y2(s) de la ecuación (4), y representar el resultado del despeje insertando nuevas ramas en el diagrama del paso 4, incorporando sumadores, ganancias y conexiones según corresponda.
\boldsymbol s^2\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right) = \frac{\boldsymbol k_2}{\boldsymbol m_2}\boldsymbol Y_1\left(\boldsymbol s\right) - \frac{\boldsymbol k_2}{\boldsymbol m_2}\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right) - \frac{b_2}{\boldsymbol m_2}\boldsymbol s\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right)
Paso 6 . Despejar S2Y1(s) de la ecuación (3), y representar el resultado del despeje insertando nuevas ramas en el diagrama del paso 4, incorporando sumadores, ganancias y conexiones según corresponda:
s^2\boldsymbol Y_1(\boldsymbol s) = - \frac{\left(\boldsymbol k_1 + \boldsymbol k_2\right)}{\boldsymbol m_1}\boldsymbol Y_1(\boldsymbol s) - \frac{\boldsymbol b_1}{\boldsymbol m_1}\boldsymbol s\boldsymbol Y_1\left(\boldsymbol s\right) + \frac{\boldsymbol k_2}{\boldsymbol m_1}\boldsymbol Y_2\left(\boldsymbol s\right) + \frac{1}{\boldsymbol m_1}\boldsymbol U(\boldsymbol s) 
Paso 7 . Finalmente se unen los diagramas parciales obtenidos en los pasos 5 y 6 y obtenemos El Diagrama del Sistema de la Figura 67:
Obtención de Y2(s)/U(s).
Paso 8 . Identificamos las realimentaciones negativas internas en el diagrama del sistema obtenido en el paso anterior y aplicamos la regla 8 de la tabla de equivalencias:
Paso 9 . Incorporamos los resultados anteriores al diagrama del sistema, el cual queda reducido de la manera siguiente:
Paso 10 . Aplicamos la regla 2, asociación en serie, y obtenemos:
Paso 11 . Aplicamos nuevamente la regla 8 a las realimentaciones internas y obtenemos:
Paso 12 . Aplicamos la regla 2 y obtenemos:
Paso 13 . Aplicamos la regla 8 al anterior, con especial atención en el hecho de que se trata de una realimentación positiva:
Del paso 13 se deduce que la función de transferencia H2(s)=Y2(s)/U(s) de la Figura 67 es:
\frac{\boldsymbol Y_{2(\boldsymbol s)}}{\boldsymbol U_{(\boldsymbol s)}} = \frac{\boldsymbol k_2}{\boldsymbol m_1\boldsymbol m_2\boldsymbol s^4 + \left(\boldsymbol m_1\boldsymbol b_2 + \boldsymbol m_2\boldsymbol b_1\right)\boldsymbol s^3 + \left(\boldsymbol m_1\boldsymbol k_2 + \boldsymbol b_1\boldsymbol b_2 + \boldsymbol m_2\left(\boldsymbol k_1 + \boldsymbol k_2\right)\right)\boldsymbol s^2 + \left(\boldsymbol b_1\boldsymbol k_2 + \boldsymbol b_2\left(\boldsymbol k_1 + \boldsymbol k_2\right)\right)\boldsymbol s + \boldsymbol k_1\boldsymbol k_2}ANEXO: Tabla de equivalencias del álgebra de bloques.
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