Función de Transferencia S. MRA – Ejercicio resuelto 1. -

Ejercicio FT-1: Obtener la función de transferencia H_(s)=X_(s)/U_(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 1. La salida es el desplazamiento x_(t) del sistema, mientras que la entrada es la fuerza u_(t) que se ejerce sobre la masa m.

Obtención de la ecuación del sistema. Dinámica del sistema.

Las fuerzas que intervienen en el movimiento (o dinámica) del sistema son las siguientes:

Paso 1. En un sistema masa-resorte-amortiguador, el resorte representa toda fuerza capaz de producir un movimiento oscilatorio armónico. Llamamos a esta fuerza F_resorte y se calcula mediante la Ley de Hooke. Por inercia, la masa m se opone a cambiar su estado de movimiento mediante una F_masa.

Las unidades utilizadas son: x:desplazamiento (m) ; t: tiempo (s); k:constante de elasticidad (N/m); m: unidad de masa. (N-s²/m)

Mientras, la constante de fricción viscosa del amortiguador representa toda fuerza de fricción en general, como por ejemplo, el roce con una superficie determinada. Llamamos a esta fuerza F_amortiguador. Consideramos además que las ruedas experimentan fuerza de roce igual a cero cuando se desplazan sobre la superficie. La otra fuerza que influye en el movimiento es la fuerza externa F_externa ejercida directamente sobre la masa, denominada u(t) en el esquema mecánico.

b:constante de fricción viscosa. (N-s/m); u(t): Fuerza (N)

\boldsymbol F_{\boldsymbol r\boldsymbol e\boldsymbol s\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol e} = \boldsymbol k\boldsymbol x(\boldsymbol t)

\boldsymbol F_{\boldsymbol a\boldsymbol m\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol i\boldsymbol g\boldsymbol u\boldsymbol a\boldsymbol d\boldsymbol o\boldsymbol r} = \boldsymbol b\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t}

\boldsymbol F_{\boldsymbol m\boldsymbol a\boldsymbol s\boldsymbol a} = \boldsymbol m\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}

\boldsymbol F_{\boldsymbol e\boldsymbol x\boldsymbol t\boldsymbol e\boldsymbol r\boldsymbol n\boldsymbol a} = \boldsymbol u(\boldsymbol t)

Paso 2. Aplicamos la segunda Ley de Newton de la siguiente manera: Las fuerzas que participan en el movimiento se suman a la izquierda de la ecuación (1). De ellas, las fuerzas que se oponen al movimiento tendrán signo negativo (restan) y las que impulsan el movimiento tendrán signo positivo (suman):

\sum \boldsymbol F = \boldsymbol m\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}

- \boldsymbol k\boldsymbol x\left(\boldsymbol t\right) - \boldsymbol b\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} + \boldsymbol u(\boldsymbol t) = \boldsymbol m\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}\boldsymbol ;\ \ \ \ \ \ (1)

Obtención de X_(s)/U_(s).

Paso 3 . Suponiendo todas las condiciones iniciales iguales a cero, se aplican las propiedades de la Transformada de Laplace (cuyo símbolo es la letra script mayúscula «ℒ») a cada término de la ecuación (1). Obtenemos la ecuación (2):

ℒ{f(t)}: transformada de Laplace de la función f(t).

- \boldsymbol k\boldsymbol X(\boldsymbol s) - \boldsymbol b\boldsymbol s\boldsymbol X\left(\boldsymbol s\right) + \boldsymbol U(\boldsymbol s) = \boldsymbol m\boldsymbol s^2\boldsymbol X\left(\boldsymbol s\right)\ \ \ \ \ \ (2)

Paso 4. Se agrupan de manera conveniente los términos de la ecuación (2) y obtenemos la ecuación (3):

U(s) = ms^2X\left(s\right) + kX\left(s\right) + bsX\left(s\right)

\left\{\boldsymbol m\boldsymbol s^2 + \boldsymbol b\boldsymbol s + \boldsymbol k\right\}\boldsymbol X\left(\boldsymbol s\right) = \boldsymbol U\left(\boldsymbol s\right)\ \ \ \ \ \ (3)

De la ecuación (3) se deduce por despeje que la función de transferencia H_(s)=X_(s)/U_(s) de la Figura 1 es:

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