Función de Transferencia S. MRA – Ejercicio resuelto 2. -

Ejercicio FT-2: Obtener la Función de Transferencia H_1(s)=X_1(s)/U_(s) y H_2(s)=X_2(s)/U_(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 2.

Obtención de la ecuación del sistema. Dinámica del sistema.

Las fuerzas que intervienen en el movimiento (o dinámica) del sistema son las siguientes:

Paso 1. El sistema tiene dos grados de libertad, correspondiente a dos desplazamientos independientes x₁(t) y x₂(t). En contraste con el caso del ejercicio 1 donde el resorte y el amortiguador están en paralelo, ambos elementos en este ejercicio están en serie, lo que genera un grado de libertad adicional. El resorte en particular, podría representar un eje o soporte flexible.

La fuerza F_resorte se calcula mediante la Ley de Hooke y se debe sólo al desplazamiento x₂(t). Por inercia, la masa m se opone a cambiar su estado de movimiento mediante una F_masa.

Las unidades utilizadas son: x:desplazamiento (m) ; t: tiempo (s); k:constante de elasticidad (N/m); m: unidad de masa. (N-s²/m)

La constante de fricción viscosa b₂ genera la fuerza F_amortiguador. Esta fuerza va tener dos dimensiones, una para cada desplazamiento: x₁(t) y x₂(t). Consideramos además que la masa experimenta una fuerza de roce F_roce proporcional a la constante de fricción viscosa b₁, cuando se desplaza sobre la superficie, y se debe sólo al desplazamiento x₁(t). La fuerza externa F_externa se ejerce directamente sobre la masa, y es denominada u(t) en el esquema mecánico.

b:constante de fricción viscosa. (N-s/m); u(t): Fuerza (N)

\boldsymbol F_{\boldsymbol r\boldsymbol e\boldsymbol s\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol e} = \boldsymbol k\boldsymbol x_2(\boldsymbol t)

\boldsymbol F_{\boldsymbol r\boldsymbol o\boldsymbol c\boldsymbol e} = \boldsymbol b_{1}\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_{1}(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t}

\boldsymbol F_{\boldsymbol a\boldsymbol m\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol i\boldsymbol g\boldsymbol u\boldsymbol a\boldsymbol d\boldsymbol o\boldsymbol r 1} = \boldsymbol b_2\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t}

\boldsymbol F_{\boldsymbol a\boldsymbol m\boldsymbol o\boldsymbol r\boldsymbol t\boldsymbol i\boldsymbol g\boldsymbol u\boldsymbol a\boldsymbol d\boldsymbol o\boldsymbol r 2} = \boldsymbol b_2\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t}

\boldsymbol F_{\boldsymbol m\boldsymbol a\boldsymbol s\boldsymbol a} = \boldsymbol m\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}

\boldsymbol F_{\boldsymbol e\boldsymbol x\boldsymbol t\boldsymbol e\boldsymbol r\boldsymbol n\boldsymbol a} = \boldsymbol u(\boldsymbol t)

Paso 2. De acuerdo con la Figura 2, al aplicar la segunda Ley de Newton debemos considerar dos nodos con desplazamientos independientes x₁(t) y x₂(t). Por lo tanto, aplicamos la ecuación de equilibrio de fuerzas de Newton a cada nodo de referencia por separado, lo cual genera dos ecuaciones de sistema. Para el nodo señalado con desplazamiento x₂(t) consideramos una masa m₂ igual a cero, lo que indica que este punto no ejerce inercia sobre el movimiento. Luego, m₁=m .

\sum \boldsymbol F_1 = \boldsymbol m_1\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}= \boldsymbol m\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}

- (\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_2)\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} + \boldsymbol b_2\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_2\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} + \boldsymbol u(\boldsymbol t) = \boldsymbol m\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x_1\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2};\ \ \ \ \ \ (1)

\sum \boldsymbol F _2= \boldsymbol m_2\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}=0

\boldsymbol b_2\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} - \boldsymbol k\boldsymbol x_2\left(\boldsymbol t\right) - \boldsymbol b_2\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} = 0 ;\ \ \ \ \ \ (2)

Obtención de X_1(s)/U_(s) y X_2(s)/U_(s).

Paso 3 . Suponiendo todas las condiciones iniciales iguales a cero, se aplican las propiedades de la Transformada de Laplace a cada término de las ecuaciones (1) y (2). Obtenemos las ecuaciones (3) y (4):

- (\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_2)\boldsymbol s\boldsymbol X_1(\boldsymbol s) + \boldsymbol b_2\boldsymbol s\boldsymbol X_2\left(\boldsymbol s\right) + \boldsymbol U(\boldsymbol s) = \boldsymbol m\boldsymbol s^2\boldsymbol X_1\left(\boldsymbol s\right);\ \ \ \ \ \ (3)

\boldsymbol b_2\boldsymbol s\boldsymbol X_1(\boldsymbol s) - \boldsymbol k\boldsymbol X_2\left(\boldsymbol s\right) - \boldsymbol b_2\boldsymbol s\boldsymbol X_2(\boldsymbol s) = 0\ \ \ \ \ \ (4)

Paso 4. Se agrupan de manera conveniente los términos de las ecuaciones (3) y (4) y obtenemos las ecuaciones (5) y (6). Cómo se puede intuir, la intención es ordenar para crear un sistema de ecuaciones clásico que permita aplicar álgebra lineal (álgebra de matrices). Se debe tener especial cuidado en el orden del despeje. Observar que la ecuación (5) es el resultado de trasladar los términos del lado izquierdo de la ecuación (3) al lado derecho, excepto la transformada de Laplace de la entrada. Lo mismo debe hacerse entonces con la ecuación (4): sus términos del lado izquierdo se trasladan al lado derecho, y es por eso que en la ecuación (6) aparecen con signos contrarios.

\{ \boldsymbol m\boldsymbol s + (\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_2)\} \boldsymbol s\boldsymbol X_1(\boldsymbol s) - \boldsymbol b_2\boldsymbol s\boldsymbol X_2\left(\boldsymbol s\right) = \boldsymbol U(\boldsymbol s)\ \ \ \ \ \ (5)

- \boldsymbol b_2\boldsymbol s\boldsymbol X_1(\boldsymbol s) + (\boldsymbol b_2\boldsymbol s + \boldsymbol k)\boldsymbol X_2\left(\boldsymbol s\right) = 0\ \ \ \ \ \ (6)

Paso 5 . Para aplicar álgebra lineal, utilizamos las ecuaciones (5) y (6) generadas por la transformada de Laplace para crear el siguiente sistema matricial:

\left[A\right]\left[B\right] = \left[C\right]

\left[\begin{array}{cc} ms^2 + (b_1 + b_2)s & - b_2s \\ - b_2s & b_2s + k \\ \end{array}\right]\left(\begin{array}{cc} X_1(s) \\ X_2(s) \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} U(s) \\ 0 \\ \end{array}\right)

Paso 6. Obtenemos el determinante de la matriz A:

\bigtriangleup_{\boldsymbol A}:determinante\ de\ la\ matriz\ A

\bigtriangleup_{\boldsymbol A}=s\left[mb_2s^2 + (mk + b_1b_2)s + (b_1 + b_2)k\right]

Cálculo del determinante de la matriz A en Matlab.

Paso 7 . Al aplicar álgebra lineal a la matriz del paso 5, obtenemos X₁(s) y X₂(s) mediante las siguientes fórmulas. Obtenemos las ecuaciones (7) y (8):

X_1(s) = \frac{\left[\begin{array}{cc} U(s) & - b_2s \\ 0 & b_2s + k \\ \end{array}\right]}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}

X_1(s) = \frac{\boldsymbol U(\boldsymbol s)\left[\boldsymbol b_2\boldsymbol s + \boldsymbol k\right]}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}\ \ \ \ \ \ (7)

\boldsymbol X_2(\boldsymbol s) = \frac{\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol m\boldsymbol s^2 + (\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_2)\boldsymbol s & \boldsymbol U(\boldsymbol s) \\ - \boldsymbol b_2s & 0 \\ \end{array}\right]}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}

\boldsymbol X_2(\boldsymbol s) = \frac{\boldsymbol U(\boldsymbol s)\left[\boldsymbol b_2\boldsymbol s\right]}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}\ \ \ \ \ \ (8)

De las ecuaciones (7) y (8) se deduce por despeje que las funciones de transferencia H_1(s)=X_1(s)/U_(s) y H_2(s)=X_2(s)/U_(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 2 son:

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ANEXOS

Cálculo del determinante de la matriz A en Matlab:

>> s=sym('s');
>> k=sym('k');
>> m=sym('m');
>> b1=sym('b1');
>> b2=sym('b2');
>> A=[m*s^2+(b1+b2)*s -b2*s;-b2*s b2*s+k]
 
A =
 
[m*s^2 + (b1 + b2)*s,    -b2*s]
[              -b2*s, k + b2*s]
 
>> delta =det(A)
 
delta = b2*m*s^3 + k*m*s^2 + b1*k*s + b2*k*s + b1*b2*s^2

                     %este es un comentario... Por lo tanto:
                          ∆ = s*(b2*m*s^2 + (k*m+b1*b2)*s + (b1 + b2)*k)

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