Función de Transferencia S. MRA – Ejercicio resuelto 3. -

Ejercicio FT-3: Obtener la función de transferencia H_1(s)=X_1(s)/U_(s) y H_2(s)=X_2(s)/U_(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 3. Ilustrar el uso de diagramas de cuerpo libre.

Obtención de la ecuación del sistema. Dinámica del sistema.

Las fuerzas que intervienen en el movimiento (o dinámica) del sistema son las siguientes:

Paso 1. El sistema tiene dos grados de libertad, correspondiente a dos desplazamientos independientes x₁(t) y x₂(t).

La fuerza F_resorte se calcula mediante la Ley de Hooke. Por inercia, la masa m se opone a cambiar su estado de movimiento mediante una F_masa. La constante de fricción viscosa b₃ genera la fuerza F_amortiguador. El sistema experimenta fuerzas de roce F_roce proporcional a las constantes de fricción viscosa b₁ y b₂, cuando se desplaza sobre la superficie

Paso 2. Debemos aplicar la segunda Ley de Newton a cada masa por separado, considerando que el desplazamiento x₁(t) le corresponde a la masa m₁ y que el desplazamiento x₂(t) le corresponde a la masa m₂ .

Paso 3. Para determinar las fuerzas que actúan sobre la masa m₁ se dibuja su diagrama de cuerpo libre y según la dirección de cada una de ellas se incorporan a la ecuación de equilibrio de fuerzas de Newton. Se procede de igual forma con la m₂. Se obtienen así las ecuaciones de sistema (1) y (2).

\sum \boldsymbol F_1 = \boldsymbol m_1\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}

- \boldsymbol k\boldsymbol x_1(\boldsymbol t) - (\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_3)\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_1\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} + \boldsymbol k\boldsymbol x_2\left(\boldsymbol t\right) + \boldsymbol b_3\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_2\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} + \boldsymbol u(\boldsymbol t) = \boldsymbol m_1\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x_1\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2};\ \ \ \ (1)

\sum \boldsymbol F_2 = \boldsymbol m_2\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x_2(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}

\boldsymbol k\boldsymbol x_1(\boldsymbol t) + \boldsymbol b_3\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_1\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} - \boldsymbol k\boldsymbol x_2\left(\boldsymbol t\right) - (\boldsymbol b_2 + \boldsymbol b_3)\frac{\boldsymbol d\boldsymbol x_2\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} = \boldsymbol m_2\frac{\boldsymbol d^2\boldsymbol x_2\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t^2}; \ \ \ \ \ \ (2)

Obtención de X_1(s)/U_(s) y X_2(s)/U_(s).

Paso 4. Suponiendo todas las condiciones iniciales iguales a cero, se aplican las propiedades de la Transformada de Laplace a cada término de las ecuaciones (1) y (2). Obtenemos las ecuaciones (3) y (4):

- \boldsymbol k\boldsymbol X_1(\boldsymbol s) - (\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_3)\boldsymbol s\boldsymbol X_1(\boldsymbol s) + \boldsymbol k\boldsymbol X_2(\boldsymbol s) + \boldsymbol b_3\boldsymbol s\boldsymbol X_2(\boldsymbol s) + \boldsymbol U(\boldsymbol s) = \boldsymbol m_1\boldsymbol s^2\boldsymbol X_1(\boldsymbol s);\ \ \ (3)

\boldsymbol k\boldsymbol X_1(\boldsymbol s) + \boldsymbol b_3\boldsymbol s\boldsymbol X_1(\boldsymbol s) - \boldsymbol k\boldsymbol X_2(\boldsymbol s) - (\boldsymbol b_2 + \boldsymbol b_3)\boldsymbol s\boldsymbol X_2(\boldsymbol s) = \boldsymbol m_2\boldsymbol s^2\boldsymbol X_2(\boldsymbol s)\ \ \ \ (4)

Paso 5. Con el fin de crear un arreglo matricial, reordenamos convenientemente las ecuaciones (3) y (4). Obtenemos las ecuaciones (5) y (6):

(\boldsymbol m_1\boldsymbol s^2 + \left(\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_3\right)\boldsymbol s + \boldsymbol k)\boldsymbol X_1\left(\boldsymbol s\right) - \left(\boldsymbol b_3\boldsymbol s + \boldsymbol k\right)\boldsymbol X_2\left(\boldsymbol s\right) = \boldsymbol U(\boldsymbol s);\ \ \ \ (5)

- \left(\boldsymbol b_3\boldsymbol s + \boldsymbol k\right)\boldsymbol X_1\left(\boldsymbol s\right) + (\boldsymbol m_2\boldsymbol s^2 + \left(\boldsymbol b_2 + \boldsymbol b_3\right)\boldsymbol s + \boldsymbol k)\boldsymbol X_2\left(\boldsymbol s\right) = 0;\ \ \ (6)

Paso 5 . Para aplicar álgebra lineal, utilizamos las ecuaciones (5) y (6) generadas por la transformada de Laplace para crear el siguiente sistema matricial:

\left[A\right]\left[B\right] = \left[C\right]

\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol m_1\boldsymbol s^2 + (\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_3)\boldsymbol s + \boldsymbol k & - (\boldsymbol b_3\boldsymbol s + \boldsymbol k) \\ - \left(\boldsymbol b_3\boldsymbol s + \boldsymbol k\right) & \boldsymbol m_2\boldsymbol s^2 + \left(\boldsymbol b_2 + \boldsymbol b_3\right)\boldsymbol s + \boldsymbol k \\ \end{array}\right]\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol X_1(\boldsymbol s) \\ \boldsymbol X_2\left(\boldsymbol s\right) \\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \boldsymbol U(\boldsymbol s) \\ 0 \\ \end{array}\right)

Paso 6. Obtenemos el determinante de la matriz A:

\bigtriangleup_{\boldsymbol A}:determinante\ de\ la\ matriz\ A

Cálculo del determinante de la matriz A en Matlab.

\bigtriangleup_{\boldsymbol A}=\boldsymbol m_1\boldsymbol m_2\boldsymbol s^4 + \left[\left(\boldsymbol b_2 + \boldsymbol b_3\right)\boldsymbol m_1 + \left(\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_3\right)\boldsymbol m_2\right]\boldsymbol s^3 + \left[(\boldsymbol m_1 + \boldsymbol m_2)\boldsymbol k + \boldsymbol b_1\boldsymbol b_2 + \boldsymbol b_2\boldsymbol b_3 + \boldsymbol b_1\boldsymbol b_3\right]\boldsymbol s^2 + (\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_2)\boldsymbol k\boldsymbol s

Paso 7 . Al aplicar álgebra lineal a la matriz del paso 5, obtenemos X₁(s) y X₂(s) mediante las siguientes fórmulas. Obtenemos las ecuaciones (7) y (8):

X_1(s) = \frac{\left[\begin{array}{cc} U(s) & - (\boldsymbol b_3s + k) \\ 0 & \boldsymbol m_2\boldsymbol s^2 + \left(\boldsymbol b_2 + \boldsymbol b_3\right)s + k \\ \end{array}\right]}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}

X_1(s) = \frac{\boldsymbol U(\boldsymbol s)\left[\boldsymbol m_2\boldsymbol s^2 + \left(\boldsymbol b_2 + \boldsymbol b_3\right)s + k\right]}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}\ \ \ \ \ \ (7)

\boldsymbol X_2(\boldsymbol s) = \frac{\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol m_1\boldsymbol s^2 + \left(\boldsymbol b_1 + \boldsymbol b_3\right)\boldsymbol s + \boldsymbol k & \boldsymbol U\left(\boldsymbol s\right) \\ - \left(\boldsymbol b_3\boldsymbol s + \boldsymbol k\right) & 0 \\ \end{array}\right]}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}

\boldsymbol X_2(\boldsymbol s) = \frac{\boldsymbol U(\boldsymbol s)\left[\boldsymbol b_3\boldsymbol s + \boldsymbol k\right]}{ \bigtriangleup_{\boldsymbol A}}\ \ \ \ \ \ (8)

De las ecuaciones (7) y (8) se deduce por despeje que las funciones de transferencia H_1(s)=X_1(s)/U_(s) y H_2(s)=X_2(s)/U_(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 3 son:

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ANEXOS

Cálculo del determinante de la matriz A en Matlab:

>> s=sym('s');
>> k=sym('k');
>> b1=sym('b1');
>> b2=sym('b2');
>> b3=sym('b3');
>> m1=sym('m1');
>> m2=sym('m2');
>> A=[m1*s^2+(b1+b3)*s+k -(b3*s+k);-(b3*s+k) m2*s^2+(b2+b3)*s+k]
 
A =
 
[m1*s^2 + (b1 + b3)*s + k,               - k - b3*s]
[              - k - b3*s, m2*s^2 + (b2 + b3)*s + k]
 
>> delta =det(A)
 
delta =
 
b1*m2*s^3 + b2*m1*s^3 + b3*m1*s^3 + b3*m2*s^3 + k*m1*s^2 + k*m2*s^2 + m1*m2*s^4 + b1*k*s + b2*k*s + b1*b2*s^2 + b1*b3*s^2 + b2*b3*s^2

%este es un comentario....Por lo tanto:
∆ = m1*m2*s^4+(b1*m2 + b2*m1 + b3*m1 + b3*m2)*s^3+(k*m1+k*m2+ b1*b2+ b1*b3+b2*b3)*s^2+( b1 + b2)*k*s

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