En el siguiente ejercicio se demuestran las propiedades de los sistemas mediante un método paso a paso, basado en las mejores prácticas de la teoría clásica de señales y sistemas.
Ejercicio SS1-1: Justifique si los siguientes sistemas, caracterizados por su relación entrada-salida, son lineales, invariantes en el tiempo, con memoria, causales y/o estables:
Sistema\ 1:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x(\boldsymbol t)
Sistema\ 2:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = 2\boldsymbol x(\boldsymbol t/ 3)
Sistema\ 3:\ \ \boldsymbol y[\boldsymbol n] = \boldsymbol x[\boldsymbol n] + 1
Para resolver este ejercicio es necesario leer la definición de cada propiedad en Linealidad e Invariancia en el tiempo. Aplicaremos esta definición a la relación entrada-salida de cada sistema. Trabajaremos primero en la demostración de cada propiedad para el sistema 1, como una manera de describir el método paso a paso en cada demostración. Luego aplicaremos el mismo método al resto de los sistemas, sin mayor explicación. En este artículo encontrarás los procedimientos para demostrar:
- Linealidad (solución al sistema 1);
- Invariancia en el tiempo;
- Memoria;
- Causalidad;
- Estabilidad;
- Solución al sistema 2;
- Solución al sistema 3.
Procedimiento para demostrar linealidad.
Un sistema es lineal si cumple con la propiedad de superposición.
Paso 1. Definimos dos señales cualquiera x1(t) y x2(t). Estas serán las señales de entrada al sistema y actúan como señales de prueba para demostrar si el sistema es lineal o no. De inmediato, calculamos por separado la salida del sistema 1 para cada una de estas señales, utilizando la relación entrada-salida definida en el enunciado. Obtenemos así y1(t) y y2(t):
Observación. Las señales x1(t) y x2(t) se definen de forma arbitraria, se supone que dos señales de entrada bastan para probar la propiedad de superposición. Podrían ser más de dos señales de prueba, el resultado debería ser el mismo.
Entradas\ al \ Sistema\ 1:\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)\boldsymbol ;\ \ \boldsymbol x_2(\boldsymbol t)
Sistema\ 1:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x(\boldsymbol t)
\boldsymbol y_1(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)
\boldsymbol y_2(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x_2(\boldsymbol t)
Paso 2. A continuación, definimos una nueva señal de entrada x(t) igual a la combinación lineal de las señales x1(t) y x2(t) definidas en el paso 1.
Observación. Para diseñar la combinación lineal de las señales x1(t) y x2(t), utilizaremos dos constantes, las letras griegas alfa (α) y beta (ß). La entrada al sistema será entonces x(t)=α.x1(t) +ß.x2(t). En vez de letras se puede utilizar números enteros, y en vez de una suma podría ser una resta. La expresión α.x1(t) se debe interpretar como el producto de α por x1(t) .
Paso 3. De inmediato, calculamos la salida del sistema 1 para la señal de entrada x(t), suponiendo que en teoría el sistema 1 es lineal. Y razonamos de la manera siguiente:
- El sistema 1 cumple con la propiedad de superposición:
- Si el sistema 1 es lineal se cumple la propiedad de escalamiento, es decir, que si la entrada es α.x1(t) , entonces la salida es α.y1(t) . Igualmente, si la entrada es ß.x2(t), entonces la salida es ß.y2(t) ;
- Si el sistema 1 es lineal se cumple la propiedad de aditividad, es decir, que si la entrada es la suma de dos componentes ( α.x1(t) y ß.x2(t) ), entonces la salida será la suma de las salidas individuales a cada componente. Así obtenemos una salida única que llamaremos salida teórica yT(t).
\boldsymbol x(\boldsymbol t) = \boldsymbol \alpha \ldotp \boldsymbol x_1(\boldsymbol t) + \boldsymbol \beta \ldotp \boldsymbol x_2(\boldsymbol t)
\boldsymbol y_{\boldsymbol T}(\boldsymbol t) = \boldsymbol \alpha.\boldsymbol y_1(\boldsymbol t) + \boldsymbol \beta.\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)Sustituyendo en la anterior ecuación las salidas y1(t) y y2(t) obtenidas en el paso 1, generamos la salida teórica yT(t) suponiendo que el sistema 1 es lineal:
\boldsymbol y_{\boldsymbol T}(\boldsymbol t) = \boldsymbol \alpha.\boldsymbol t .\boldsymbol x_1(\boldsymbol t) + \boldsymbol \beta.\boldsymbol t.\boldsymbol x_2(\boldsymbol t)Paso 4. Calculamos ahora la salida real del sistema 1, que se determina al sustituir en la relación entrada-salida del sistema 1 el valor de la señal x(t) definida en el paso 2 como la combinación lineal de las señales x1(t) y x2(t) . Obtenemos la salida real y(t):
\boldsymbol y(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\left(\boldsymbol \alpha \ldotp \boldsymbol x_1\left(\boldsymbol t\right) + \boldsymbol \beta \ldotp \boldsymbol x_2\left(\boldsymbol t\right)\right)
Paso 5. Finalmente, comparamos la salida real y(t) del sistema 1 obtenida en el paso 4 con la salida teórica yT(t) obtenida en el paso 3. La primera ecuación de la derecha se interpreta como una pregunta: «¿La salida teórica yT(t) es igual que la salida real y(t) ?«. Si ambas salidas coinciden, queda demostrado que el sistema1 es Lineal. Si no coinciden, queda demostrado lo contrario.
\boldsymbol y_{\boldsymbol T}(\boldsymbol t)\mathop{=}\limits^{?}\boldsymbol y(\boldsymbol t)En efecto, se observa que ambas ecuaciones coinciden:
\boldsymbol t .\boldsymbol \alpha.\boldsymbol x_1(\boldsymbol t) + \boldsymbol t.\boldsymbol \beta.\boldsymbol x_2(\boldsymbol t)=\boldsymbol t\left(\boldsymbol \alpha \ldotp \boldsymbol x_1\left(\boldsymbol t\right) + \boldsymbol \beta \ldotp \boldsymbol x_2\left(\boldsymbol t\right)\right)
Por lo tanto el sistema 1 es Lineal.
Procedimiento para demostrar invariancia en el tiempo.
Un sistema es invariante en el tiempo si la salida para una entrada específica se preserva a pesar de que la entrada se desplace en el tiempo. Es decir, si la entrada se desplaza horizontalmente una cantidad de tiempo t0 , la salida también se desplaza horizontalmente una cantidad de tiempo t0 .
Paso 1. Definimos una señal cualquiera x1(t). Esta será la señal de entrada al sistema y actúa como señal de prueba para demostrar si el sistema es invariante en el tiempo o no. De inmediato, calculamos la salida del sistema 1 cuando la entrada es x1(t), utilizando la relación entrada-salida definida en el enunciado. Obtenemos así y1(t):
Observación. Otra opción es definir la señal de prueba de entrada simplemente como x(t). En ese caso, la salida sería la misma ecuación entrada-salida del sistema.
Entrada\ al \ Sistema\ 1:\ \ \ \boldsymbol x_1(\boldsymbol t)
Sistema\ 1:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x(\boldsymbol t)
\boldsymbol y_1(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)
Paso 2. Aplicamos un desplazamiento horizontal arbitrario a la entrada x1(t) y llamamos a esa entrada x2(t). De inmediato, calculamos la salida del sistema 1 cuando la entrada es x2(t). Aplicando sustitución, obtenemos la salida y2(t) :
Entrada\ al \ Sistema\ 1:\ \ \ \boldsymbol x_2(\boldsymbol t)
\boldsymbol x_2(\boldsymbol t) = \boldsymbol x_1(\boldsymbol t - \boldsymbol t_0)
\boldsymbol y_2(\boldsymbol t) = \boldsymbol t.\boldsymbol x_2(\boldsymbol t)=\boldsymbol t.\boldsymbol x_1(\boldsymbol t - \boldsymbol t_0)
Paso 3. Aplicamos el mismo desplazamiento horizontal arbitrario del paso 2 a la salida y1(t) obtenida en el paso 1.
\boldsymbol y_1(\boldsymbol t - \boldsymbol t_0) = (\boldsymbol t - \boldsymbol t_0)\boldsymbol x_1(\boldsymbol t - \boldsymbol t_0)
Paso 4. Finalmente, comparamos la salida y2(t) del sistema 1 obtenida en el paso 2 con la salida y1(t-t0) obtenida en el paso 3. Si el sistema es invariante en el tiempo, ambas salidas deben coincidir y queda demostrado que el sistema1 es Invariante en el tiempo. Si no coinciden, queda demostrado lo contrario.
Observación. De acuerdo con la definición presentada en la teoría, si la salida del sistema 1 es y(t) cuando la entrada es x(t), el sistema 1 es invariante en el tiempo si su salida es y(t-t0) cuando la entrada es x(t-t0). Sin embargo, el desplazamiento aplicado a la entrada en el paso 2 genera una salida que no es igual a la salida inicial y(t) sometida al mismo desplazamiento. Por lo tanto, el sistema es variante en el tiempo.
\boldsymbol y_{\boldsymbol 2}(\boldsymbol t)\mathop{=}\limits^{?}\boldsymbol y_{\boldsymbol 1}(\boldsymbol t- \boldsymbol t_0)En efecto, se observa que ambas ecuaciones no coinciden:
\boldsymbol t.\boldsymbol x_1(\boldsymbol t - \boldsymbol t_0) \neq (\boldsymbol t - \boldsymbol t_0)\boldsymbol x_1(\boldsymbol t - \boldsymbol t_0)
Por lo tanto el sistema 1 no es Invariante en el tiempo.
Procedimiento para demostrar que un sistema tiene memoria.
Un sistema tiene memoria si es capaz de utilizar información del tiempo pasado para calcular su salida en el tiempo presente.
Paso 1. Se requiere, un poco de manera intuitiva, observar y estudiar la relación entrada-salida con el fin de encontrar componentes, al menos en algún instante de tiempo, que impliquen el uso de información pasada para determinar la salida presente.
Observación. Evaluando el sistema 1 vemos que la ecuación entrada-salida consta del producto de dos elementos. Ninguno de ellos implica el uso de información pasada para hallar la salida en el presente. El sistema 1 es un sistema instantáneo, ya que el valor de su salida para cualquier instante de tiempo, sólo depende del valor de la entrada en ese mismo instante, multiplicado por un número igual al valor del tiempo en ese instante.
Sistema\ 1:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x(\boldsymbol t)
Ejemplo\ 1 \ de\ salida:\ \ \ \boldsymbol p\boldsymbol a\boldsymbol r\boldsymbol a\\ \boldsymbol t = 1\rightarrow \boldsymbol y(1) = 1.\boldsymbol x(1)
Ejemplo\ 2 \ de\ salida:\ \ \ \boldsymbol p\boldsymbol a\boldsymbol r\boldsymbol a\\ \boldsymbol t = -1\rightarrow \boldsymbol y(-1) = (-1).\boldsymbol x(-1)
No es posible encontrar al menos un instante de tiempo en el que la salida del sistema 1 dependa de valores pasados de la entrada.
Conclusión: el sistema 1 no tiene memoria, es instantáneo.
Procedimiento para demostrar causalidad.
Un sistema es causal si su salida depende solamente de valores presentes y/o pasados de la entrada.
Paso 1. En esta ocasión, al contrario de lo que se hace en la demostración de memoria, se requiere observar y estudiar la relación entrada-salida con el fin de encontrar al menos algún instante de tiempo en el que la salida dependa de valores posteriores a dicho instante de tiempo. De ser imposible demostrar que el sistema no es causal, se llega a la conclusión de que el sistema lo es. En este caso, se ha demostrado anteriormente que el sistema es instantáneo, es decir, sólo depende de valores de la entrada en el mismo instante en que se evalúa la salida. Por lo tanto, el sistema es causal.
Sistema\ 1:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x(\boldsymbol t)
No es posible encontrar al menos un instante de tiempo en el que la salida del sistema 1 dependa de valores futuros de la entrada.
Conclusión: el sistema 1 es causal.
Procedimiento para demostrar estabilidad.
El sistema es inestable si una salida pequeña produce una salida que diverge. En un sistema estable, una entrada acotada en amplitud (por ejemplo la entrada función coseno) debe producir una salida acotada en amplitud.
Paso 1. En este caso debemos comprobar que la relación entrada-salida cumple con la definición de la propiedad estabilidad. Es decir, si la salida del sistema 1 es y(t) cuando la entrada es x(t), el sistema 1 es estable si se cumple la siguiente condición de estabilidad:
\left|\boldsymbol x(\boldsymbol t)\right| \leq \boldsymbol A\Rightarrow \left|\boldsymbol y\left(\boldsymbol t\right)\right| \leq \boldsymbol B\boldsymbol ;\ \ \ \ \boldsymbol A\boldsymbol \ y\ \boldsymbol B \in {\mathbb{R}}A y B son dos números finitos reales. Definimos una entrada x(t) acotada en amplitud por una cota arbitraria A.
Sin embargo, ayudará mucho utilizar nuevamente la intuición y apuntar a una situación problemática, un valor de la salida que diverge, es decir que se hace tan grande en amplitud que es capaz de colapsar el sistema.
Observación. Evaluando el sistema 1 vemos que la ecuación entrada-salida nos señala una situación problemática: a medida que el tiempo se hace grande la salida no para de crecer, debido al factor t que multiplica la entrada x(t). En concreto, cuando t tiende a infinito, la salida y(t) tiende a infinito, por lo tanto al pasar el tiempo el sistema 1 se hace inestable.
Sistema\ 1:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x(\boldsymbol t)
\mathop{\mathbf l\mathbf i\mathbf m}\limits_{\boldsymbol t\rightarrow \mathbf \infty}\boldsymbol y(\boldsymbol t) = \mathbf \infty \Rightarrow\left|\boldsymbol x(\boldsymbol t)\right| \leq \boldsymbol A\nRightarrow \left|\boldsymbol y\left(\boldsymbol t\right)\right| \leq \boldsymbol BLa salida y(t) del sistema 1 tiende a infinito cuando el tiempo t tiende a infinito. Esto quiere decir que una entrada x(t) acotada por definición, con amplitud menor o igual a A , no implica una salida y(t) acotada, con amplitud menor o igual a B. Por lo tanto, el sistema 1 no cumple la condición de estabilidad.
Conclusión: el sistema 1 es inestable.
Solución para el sistema 2.
Aplicamos los métodos anteriores para demostrar las propiedades del sistema 2:
Linealidad :
Entradas\ al \ Sistema\ 2:\boldsymbol x_1(\boldsymbol t)\boldsymbol ;\ \ \boldsymbol x_2(\boldsymbol t)
Sistema\ 2:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = 2\boldsymbol x(\boldsymbol t/ 3)
\boldsymbol y_1(\boldsymbol t) = \boldsymbol 2\boldsymbol x_1(\boldsymbol t/3);\ \ \ \ \boldsymbol y_2(\boldsymbol t) = \boldsymbol 2\boldsymbol x_2(\boldsymbol t/3)
\boldsymbol x(\boldsymbol t) = \boldsymbol \alpha \ldotp \boldsymbol x_1(\boldsymbol t) + \boldsymbol \beta \ldotp \boldsymbol x_2(\boldsymbol t)
\boldsymbol y_{\boldsymbol T}(\boldsymbol t) = \boldsymbol \alpha.\boldsymbol y_1(\boldsymbol t) + \boldsymbol \beta.\boldsymbol y_2(\boldsymbol t)\Rightarrow \boldsymbol y_{\boldsymbol T}(\boldsymbol t) = \boldsymbol \alpha.\boldsymbol 2.\boldsymbol x_1(\boldsymbol t/3) + \boldsymbol \beta.\boldsymbol 2.\boldsymbol x_2(\boldsymbol t/3)\boldsymbol x(\boldsymbol t) = \boldsymbol \alpha \ldotp \boldsymbol x_1(\boldsymbol t) + \boldsymbol \beta \ldotp \boldsymbol x_2(\boldsymbol t)\Rightarrow\boldsymbol x(\boldsymbol t/3) = \boldsymbol \alpha \ldotp \boldsymbol x_1(\boldsymbol t/3) + \boldsymbol \beta \ldotp \boldsymbol x_2(\boldsymbol t/3)
\boldsymbol y(\boldsymbol t) = 2\boldsymbol x(\boldsymbol t/ 3)\Rightarrow\boldsymbol y(\boldsymbol t) = 2.(\boldsymbol \alpha \ldotp \boldsymbol x_1(\boldsymbol t/3) + \boldsymbol \beta \ldotp \boldsymbol x_2(\boldsymbol t/3))
\boldsymbol y_{\boldsymbol T}(\boldsymbol t)\mathop{=}\limits^{?}\boldsymbol y(\boldsymbol t)En efecto, se observa que ambas ecuaciones coinciden:
\boldsymbol \alpha.\boldsymbol 2.\boldsymbol x_1(\boldsymbol t/3) + \boldsymbol \beta.\boldsymbol 2.\boldsymbol x_2(\boldsymbol t/3)=2.(\boldsymbol \alpha \ldotp \boldsymbol x_1(\boldsymbol t/3) + \boldsymbol \beta \ldotp \boldsymbol x_2(\boldsymbol t/3))
Por lo tanto el sistema 2 es Lineal.
Invariancia en el tiempo:
Entrada\ al \ Sistema\ 2:\ \ \ \boldsymbol x_1(\boldsymbol t)
Sistema\ 2:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = 2\boldsymbol x(\boldsymbol t/ 3)\Rightarrow\boldsymbol y_1(\boldsymbol t) = \boldsymbol 2\boldsymbol x_1(\boldsymbol t/3)
Entrada\ al \ Sistema\ 2:\ \ \ \boldsymbol x_2(\boldsymbol t)
\boldsymbol x_2(\boldsymbol t) = \boldsymbol x_1(\boldsymbol t - \boldsymbol t_0)\Rightarrow\boldsymbol y_2(\boldsymbol t) = \boldsymbol 2\boldsymbol x_1(\frac{\boldsymbol t - \boldsymbol t_0}{3})\boldsymbol y_1(\boldsymbol t - \boldsymbol t_0) =\boldsymbol 2\boldsymbol x_1(\frac{\boldsymbol t - \boldsymbol t_0}{3})\boldsymbol y_{\boldsymbol 2}(\boldsymbol t)\mathop{=}\limits^{?}\boldsymbol y_{\boldsymbol 1}(\boldsymbol t- \boldsymbol t_0)En efecto, se observa que ambas ecuaciones coinciden:
\boldsymbol 2\boldsymbol x_1(\frac{\boldsymbol t - \boldsymbol t_0}{3}) = \boldsymbol 2\boldsymbol x_1(\frac{\boldsymbol t - \boldsymbol t_0}{3})Por lo tanto el sistema 2 es Invariante en el tiempo.
Memoria:
Sistema\ 2:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = 2\boldsymbol x(\boldsymbol t/ 3)
Ejemplo\ 1 \ de\ salida:\ \ \ \boldsymbol p\boldsymbol a\boldsymbol r\boldsymbol a\\ \boldsymbol t = 1\rightarrow \boldsymbol y(1) = 2.\boldsymbol x(1/3)
Podemos observar en el ejemplo 1 que el sistema cumple con la condición para catalogarlo como un sistema con memoria, ya que en el tiempo t=1 segundos, la salida del sistema depende de un valor de la entrada en t=1/3 segundos. Es decir, se observa que el valor de la salida depende de un valor de la entrada ubicado en el pasado.
Por lo tanto el sistema 2 tiene memoria.
Causalidad:
Sistema\ 2:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = 2\boldsymbol x(\boldsymbol t/ 3)
Ejemplo\ 1 \ de\ salida:\ \ \ \boldsymbol p\boldsymbol a\boldsymbol r\boldsymbol a\\ \boldsymbol t = -1\rightarrow \boldsymbol y(-1) = 2.\boldsymbol x(-1/3)
Podemos observar en el ejemplo 1 que el sistema no cumple con la condición para catalogarlo como un sistema causal, ya que en el tiempo t= -1 segundos, la salida del sistema depende de un valor de la entrada en t= -1/3 segundos. Es decir, se observa que el valor de la salida depende de un valor de la entrada ubicado en el futuro.
Por lo tanto el sistema 2 no es causal.
Estabilidad:
Sistema\ 2:\ \ \boldsymbol y(\boldsymbol t) = 2\boldsymbol x(\boldsymbol t/ 3)
Aplicamos directamente la definición o condición de estabilidad al sistema 2. Definimos una entrada x(t) acotada en amplitud por una cota arbitraria A.
\left|\boldsymbol x(\boldsymbol t)\right| \leq \boldsymbol A\Rightarrow \left|\boldsymbol y\left(\boldsymbol t\right)\right| \leq \boldsymbol B\boldsymbol ;\ \ \ \ \boldsymbol A\boldsymbol \ y\ \boldsymbol B \in {\mathbb{R}}\left|\boldsymbol x(\boldsymbol t)\right| \leq \boldsymbol A\Rightarrow \left|2.\boldsymbol x\left(\boldsymbol t/3\right)\right|=2.\left|\boldsymbol x\left(\boldsymbol t/3\right)\right| \leq \boldsymbol B\boldsymbol ;\ \ \ \ \boldsymbol A\boldsymbol \ y\ \boldsymbol B \in {\mathbb{R}}Podemos observar que el sistema 2 cumple con la condición de estabilidad, ya que ante cualquier entrada acotada en amplitud por una cota arbitraria A, su salida también estará acotada en amplitud por una cota arbitraria B.
En algunas ocasiones la inecuación anterior puede llevar a confusión. Ayuda mucho utilizar el sentido común. Otra manera de razonar es decir que si la entrada x(t) está acotada por definición en todo tiempo t, es evidente que x(t/3) también estará acotada, porque lo único que cambia entre uno y otro valor de la entrada es que el valor de t se divide entre tres. Por ejemplo, si t=1 s , x(t/3) genera un valor acotado por definición dos tercios de segundo antes (en el caso de t negativo, x(t/3) toma un valor posterior igualmente acotado).
Por lo tanto el sistema 2 es estable.
Solución para el sistema 3.
Aplicamos los métodos anteriores para demostrar las propiedades del sistema 3:
Linealidad :
Entradas\ al \ Sistema\ 3:\boldsymbol x_1[\boldsymbol n]\boldsymbol ;\ \ \boldsymbol x_2[\boldsymbol n]
Sistema\ 3:\ \ \boldsymbol y[\boldsymbol n] = \boldsymbol x[\boldsymbol n] + 1
\boldsymbol y_1[\boldsymbol n] = \boldsymbol x_1[\boldsymbol n] + 1;\ \ \ \ \boldsymbol y_2[\boldsymbol n] = \boldsymbol x_2[\boldsymbol n] + 1
\boldsymbol x[\boldsymbol n]= \boldsymbol \alpha .\boldsymbol x_1[\boldsymbol n] + \boldsymbol \beta .\boldsymbol x_2[\boldsymbol n]
\boldsymbol y_T[\boldsymbol n] = \boldsymbol \alpha.\boldsymbol y_1[\boldsymbol n] + \boldsymbol \beta.\boldsymbol y_2[\boldsymbol n] \Rightarrow\boldsymbol y_T[\boldsymbol n] = \boldsymbol \alpha.(\boldsymbol x_1[\boldsymbol n] + 1) + \boldsymbol \beta.(\boldsymbol x_2[\boldsymbol n] + 1)
\boldsymbol y_T[\boldsymbol n] = \boldsymbol \alpha.\boldsymbol x_1[\boldsymbol n] + \boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta.\boldsymbol x_2[\boldsymbol n] + \boldsymbol \beta
\boldsymbol y[\boldsymbol n] = \boldsymbol x[\boldsymbol n] + 1\Rightarrow\boldsymbol y[\boldsymbol n] = \boldsymbol \alpha .\boldsymbol x_1[\boldsymbol n] + \boldsymbol \beta .\boldsymbol x_2[\boldsymbol n] + 1
\boldsymbol y_{\boldsymbol T}[\boldsymbol n]\mathop{=}\limits^{?}\boldsymbol y[\boldsymbol n]En efecto, se observa que ambas ecuaciones no coinciden:
\boldsymbol \alpha.\boldsymbol x_1[\boldsymbol n] + \boldsymbol \alpha + \boldsymbol \beta.\boldsymbol x_2[\boldsymbol n] + \boldsymbol \beta\neq\boldsymbol \alpha .\boldsymbol x_1[\boldsymbol n] + \boldsymbol \beta .\boldsymbol x_2[\boldsymbol n] + 1
Por lo tanto el sistema 3 no es Lineal.
Invariancia en el tiempo:
Entrada\ al \ Sistema\ 3:\ \ \ \ \boldsymbol x_1[\boldsymbol n]
Sistema\ 3:\ \ \boldsymbol y[\boldsymbol n] = \boldsymbol x[\boldsymbol n] + 1\Rightarrow\boldsymbol y_1[\boldsymbol n] = \boldsymbol x_1[\boldsymbol n] + 1
Entrada\ al \ Sistema\ 3:\ \ \ \ \boldsymbol x_2[\boldsymbol n]
\boldsymbol x_2[\boldsymbol n] = \boldsymbol x_1[\boldsymbol n-\boldsymbol n_0]\Rightarrow\boldsymbol y_2[\boldsymbol n] = \boldsymbol x_2[\boldsymbol n] + 1=\boldsymbol x_1[\boldsymbol n-\boldsymbol n_0] + 1
\boldsymbol y_1[\boldsymbol n-\boldsymbol n_0] = \boldsymbol x_1[\boldsymbol n-\boldsymbol n_0] + 1
\boldsymbol y_2[\boldsymbol n]\mathop{=}\limits^{?}\boldsymbol y_1[\boldsymbol n-\boldsymbol n_0] En efecto, se observa que ambas ecuaciones coinciden:
\boldsymbol x_1[\boldsymbol n-\boldsymbol n_0] + 1= \boldsymbol x_1[\boldsymbol n-\boldsymbol n_0] + 1
Por lo tanto el sistema 3 es Invariante en el tiempo.
Memoria:
Sistema\ 3:\ \ \boldsymbol y[\boldsymbol n] = \boldsymbol x[\boldsymbol n] + 1
Ejemplo\ 1 \ de\ salida:\ \ \ \boldsymbol p\boldsymbol a\boldsymbol r\boldsymbol a\\ \boldsymbol t = 1\rightarrow \boldsymbol y[\boldsymbol 1] = \boldsymbol x[\boldsymbol 1] + 1
Ejemplo\ 2 \ de\ salida:\ \ \ \boldsymbol p\boldsymbol a\boldsymbol r\boldsymbol a\\ \boldsymbol t = -1\rightarrow \boldsymbol y[\boldsymbol -1] = \boldsymbol x[\boldsymbol -1] + 1
No es posible encontrar al menos un instante de tiempo en el que la salida del sistema 3 dependa de valores pasados de la entrada.
Conclusión: el sistema 3 no tiene memoria, es instantáneo.
Causalidad:
Sistema\ 3:\ \ \boldsymbol y[\boldsymbol n] = \boldsymbol x[\boldsymbol n] + 1
No es posible encontrar al menos un instante de tiempo en el que la salida del sistema 3 dependa de valores futuros de la entrada. De hecho, ya se había demostrado que el sistema es instantáneo.
Conclusión: el sistema 3 es causal.
Estabilidad:
Sistema\ 3:\ \ \boldsymbol y[\boldsymbol n] = \boldsymbol x[\boldsymbol n] + 1
Aplicamos directamente la definición o condición de estabilidad al sistema 2. Definimos una entrada x[n] acotada en amplitud por una cota arbitraria A.
|\boldsymbol x[\boldsymbol n] | \leq \boldsymbol A\Rightarrow \left|\boldsymbol y[\boldsymbol n]\right| \leq \boldsymbol B\boldsymbol ;\ \ \ \ \boldsymbol A\boldsymbol \ y\ \boldsymbol B \in {\mathbb{R}}|\boldsymbol x[\boldsymbol n] | \leq \boldsymbol A\Rightarrow \left|\boldsymbol x[\boldsymbol n]+1\right| \leq \boldsymbol B\boldsymbol ;\ \ \ \ \boldsymbol A\boldsymbol \ y\ \boldsymbol B \in {\mathbb{R}}Podemos observar que el sistema 3 cumple con la condición de estabilidad, ya que ante cualquier entrada acotada en amplitud por una cota arbitraria A, su salida también estará acotada en amplitud por una cota arbitraria B.
Si la entrada x[n] está acotada por definición en todo tiempo n, es evidente que x[n] +1 también estará acotada en todo tiempo n. Sumarle una unidad a la función x[n] en todo tiempo n no genera divergencia.
Por lo tanto el sistema 3 es estable.
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Prof. Larry. Estudios:
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela
