Las Propiedades de los Sistemas más relevantes son las siguientes: Linealidad, Invariancia en el tiempo, Causalidad, Estabilidad y Memoria. La mayoría de los ejercicios relacionados con este tema requieren demostrar las propiedades de los sistemas, para lo cual es necesario aplicar la definición de cada propiedad a la relación entrada-salida del sistema. En especial, interesan los sistemas que cumplen con las propiedades de Linealidad e Invariancia en el tiempo (Sistemas LIT), porque dichos sistemas son de gran importancia para el análisis de señales y sistemas. La Figura 1 ilustra la relación entrada-salida de un sistema LIT.
Propiedades de los sistemas
Las propiedades que vamos a definir y luego demostrar son las siguientes:
- Memoria;
- Estabilidad;
- Causalidad;
- Invariancia en el tiempo;
- Linealidad.
Para demostrar las propiedades de los sistemas es necesario aplicar la definición de cada propiedad a la relación entrada-salida del sistema.
Relación entrada-salida del sistema.
La relación entrada-salida de un sistema es aquella expresión algebraica, por lo general una Ecuación Diferencial del Sistema (EDS), que nos permite conocer la señal de salida y(t) en función de la señal de entrada x(t).
Por ejemplo, un sistema de primer orden es aquel cuya relación entrada-salida en el dominio del tiempo, está definida por una ecuación diferencial de primer orden del tipo:
\frac{\boldsymbol d\boldsymbol y(\boldsymbol t)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} + \boldsymbol a_0\boldsymbol y(\boldsymbol t) = \frac{\boldsymbol d\boldsymbol x\left(\boldsymbol t\right)}{\boldsymbol d\boldsymbol t} + \boldsymbol b_0\boldsymbol x\left(\boldsymbol t\right);\ para\ cada\ t\text{∈}\text{R}La Ecuación Diferencial del Sistema (EDS) es un modelo dinámico que establece una restricción fundamental sobre ciertas combinaciones de la entrada, la salida y algunas derivadas de ambas señales.
La relación entrada-salida de un sistema puede ser una simple expresión algebraica que nos permita directamente determinar la salida en función de la entrada. Sea la siguiente relación entrada-salida del sistema S1:
\boldsymbol y(\boldsymbol t) = \boldsymbol t\boldsymbol x(\boldsymbol t)
Dada una señal x(t) cualquiera, utilizando la ecuación anterior podemos conocer la expresión de salida y(t) del sistema S1.
Si la entrada x(t) al sistema S1 es la siguiente:
x\left(t\right) = u(t - 1) - u(t - 3)
Entonces la salida y(t) del sistema S1 es:
y(t) = tx(t)\ \ \rightarrow\ \ \boldsymbol y\left(\boldsymbol t\right) = \boldsymbol t(\boldsymbol u(\boldsymbol t - 1) - \boldsymbol u(\boldsymbol t - 3))
Ejercicios resueltos de Función de Transferencia
El objetivo en los siguientes ejercicios es determinar la relación entrada-salida del sistema utilizando leyes de la física, para luego aplicar la transforma de Laplace a la EDS obtenida y despejar de este resultado la función de transferencia H(s) .
Ejercicio FT-1: Obtener la función de transferencia H(s)=X(s)/U(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 1. La salida es el desplazamiento x(t) del sistema, mientras que la entrada es la fuerza u(t) que se ejerce sobre la masa m.
Encontrarás la solución al ejercicio FT-1 en el siguiente link: SOLUCIÓN Ejercicio FT-1.
Ejercicio FT-2: Obtener la función de transferencia H1(s)=X1(s)/U(s) y H2(s)=X2(s)/U(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 2.
Encontrarás la solución al ejercicio FT-2 en el siguiente link: SOLUCIÓN Ejercicio FT-2.
Ejercicio FT-3: Obtener la función de transferencia H1(s)=X1(s)/U(s) y H2(s)=X2(s)/U(s) del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 3. Ilustrar el uso de diagramas de cuerpo libre..
Encontrarás la solución al ejercicio FT-3 en el siguiente link: SOLUCIÓN Ejercicio FT-3.
Ejercicio FT-4: Obtener la función de transferencia G(s)=Eo(s)/Ei(s) del sistema eléctrico de la Figura 4. La salida es la caída de voltaje e0(t) en los nodos del capacitor, mientras que la entrada es la tensión ei(t) . Aplicar el método de mallas para determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema y obtener G(s) a partir de ellas.
Encontrarás la solución al ejercicio FT-4 en el siguiente link: SOLUCIÓN Ejercicio FT-4.
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Prof. Larry. Estudios:
Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.
Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs
