Introducción
El problema más resaltante de un sistema de control lineal es el relativo a su estabilidad. Estabilidad es la especificación más importante que debe cumplirse entre los requerimientos a la hora de diseñar un sistema de control. Sin estabilidad, las otras dos especificaciones, respuesta transitoria y error en estado estable, son irrelevantes.
Entonces, las preguntas más urgentes a la hora de diseñar un sistema de control son las siguientes: ¿Bajo qué condiciones un sistema se vuelve inestable?. ¿Si el sistema es inestable, que debemos hacer para estabilizar dicho sistema?
La respuesta total de un sistema es la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada, tal como lo señala la siguiente relación:
\boldsymbol C(\boldsymbol t) = \boldsymbol C_{\boldsymbol f}(\boldsymbol t) + \boldsymbol C_{\boldsymbol n}\left(\boldsymbol t\right)Usando este concepto presentamos la siguiente definición para estabilidad, inestabilidad y estabilidad crítica o marginal:
- Un sistema lineal e invariante en el tiempo es estable si su respuesta natural tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito.
- Un sistema lineal e invariante en el tiempo es inestable si su respuesta natural crece ilimitadamente cuando el tiempo tiende a infinito.
- Un sistema lineal e invariante en el tiempo es críticamente estable si su respuesta natural no decae ni crece y tiende a permanecer constante cuando el tiempo tiende a infinito.
Esta definición de estabilidad implica por lo tanto que sólo la respuesta forzada permanece a medida que la respuesta natural tiende a cero. Una definición alternativa para estabilidad considera la respuesta total del sistema y la primera definición basada en la respuesta natural:
- Un sistema es estable si genera una salida acotada como respuesta a una entrada acotada. Llamamos a ésta definición BIBO de estabilidad, por su siglas en inglés (bounded-input, bounded-output).
Ahora podemos entender que si una entrada acotada produce una salida no acotada, el sistema es inestable. Por otra parte, si la entrada no es acotada con seguridad veremos una salida no acotada pero no podremos llegar a ninguna conclusión respecto a la estabilidad del sistema.
Físicamente hablando, un sistema inestable cuya salida crece ilimitadamente puede causar daño al mismo sistema o a sistemas adyacentes, incluso puede atentar contra la vida humana (imagine el caso de un ascensor cuyo sistema de control se vuelve inestable). Por ello muchos sistemas se diseñan habilitando al mismo tiempo una parada de emergencia que podría ser sencillamente un interruptor de suministro de energía eléctrica (breaker).
La retroalimentación negativa en la mayoría de los sistemas de ingeniería tiende a mejorar la estabilidad. Piense en los efectos beneficiosos de la retroalimentación en los sistemas electrónicos. Del estudio de polos y zeros de la Función de Transferencia de un sistema de control podemos retomar el hecho de que los polos ubicados en el lado izquierdo del plano complejo producen respuestas naturales en forma de exponenciales decrecientes puras o sinusoides amortiguadas. Estas respuestas naturales tienden a cero a medida que el tiempo tiende a infinito. Por lo tanto, los polos de sistemas de lazo cerrado ubicados en a la izquierda del plano complejo tienen una parte real negativa y producen estabilidad en el sistema, es decir:
- Los sistemas de lazo cerrado son estables si su función de transferencia tiene sólo polos ubicados a la izquierda del plano complejo (lhp – left half-plane).
Los polos de dichas funciones de transferencia ubicados en el lado derecho del plano complejo producen exponenciales crecientes puras o sinusoides que crecen exponencialmente, cuando el tiempo tiende a infinito. Por lo tanto:
- Los sistemas de lazo cerrado son inestables si su función de transferencia posee al menos un polo ubicado en el lado derecho del plano complejo o al menos un polo de multiplicidad mayor a 1 en el eje imaginario (rhp – right half-plane).
Finalmente, un sistema que tiene polos en el eje imaginario de multiplicidad igual a 1 produce oscilaciones sinusoidales que no crecen ni decrecen en amplitud. Por lo tanto:
- Los sistemas de lazo cerrado son críticamente o marginalmente inestables si su función de transferencia posee sólo polos de multiplicidad igual a uno en el eje imaginario y polos en el lado izquierdo del plano complejo.
A continuación se expone la teoría sobre el procedimiento para determinar la estabilidad de un sistema de control.
Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz nos dice si hay o no raíces en una ecuación polinomial que causen inestabilidad, sin explicarnos cómo resolver dicha inestabilidad. Este criterio sólo aplica para polinomios con un número finito de términos. Cuando el criterio es aplicado a sistemas de control, la información sobre la estabilidad absoluta de un sistema puede obtenerse directamente de los coeficientes de la ecuación característica.
El método consiste en la ejecución de dos pasos: 1) Generar la tabla datos denominada Tabla de Routh, 2) Interpretar los resultados de la Tabla de Routh para saber cuantos polos de la función de transferencia se encuentran en el semiplano izquierdo, cuantos en el semiplano derecho y cuántos en el eje imaginario. La gran utilidad del método se aprecia en el proceso de diseño más que en el análisis del sistema. Por ejemplo, si tenemos un parámetro desconocido en el denominador de la función de transferencia es difícil determinar por medio de una calculadora el rango de valor de un parámetro para garantizar estabilidad. Más adelante veremos que gracias al criterio Routh-Hurwitz podremos generar una expresión para el rango de estabilidad para dicho parámetro desconocido.
- Generar la tabla de Routh. Consideremos la Función de Transferencia G(s) a lazo cerrado equivalente para un sistema cualquiera, Figura 1. Debido a que lo que nos interesa son los polos de la función de transferencia, nos enfocamos en el denominador de dicha función. Luego, creamos la tabla de Routh mostrada en la Tabla 1:
Comenzamos por etiquetar las filas con las s elevadas a la potencia, comenzando por el valor más alto de las potencias en el denominador de la función de transferencia, hasta llegar a cero. Luego, iniciamos la fila con el coeficiente de la potencia más alta del denominador y creamos una lista horizontal como se aprecia en la Tabla 1:
En la segunda fila, lista horizontal, comenzamos con el coeficiente de la potencia siguiente y se completa con los coeficientes que faltaron en la fila anterior. Luego, las entradas restantes se rellenan como sigue:
Cada entrada es un determinante negativo de entradas en las dos filas anteriores dividido por la entrada en la primera columna directamente sobre la fila calculada. La columna de la izquierda del determinante es siempre la primera columna de las dos filas anteriores, y la columna de la derecha es los elementos de la columna de arriba y a la derecha.
La matriz completa de coeficientes es triangular. Tenga en cuenta que al desarrollar la matriz, una fila entera puede dividirse o multiplicarse por un número positivo para simplificar el cálculo numérico subsiguiente sin alterar la conclusión de estabilidad.
- Interpretar la tabla básica de Routh. En pocas palabras, el criterio de Routh-Hurwitz declara que el número de raíces del polinomio que están en el plano de la mitad derecha es igual al número de cambios de signo en la primera columna.
Si la Función de Transferencia de un lazo cerrado tiene todos los polos en el plano de la izquierda, el sistema es estable. Por lo tanto, el sistema es estable si no hay cambios de signo en la primera columna de la Tabla de Routh.
El criterio de estabilidad de Routh tiene una utilidad limitada cuando se aplica al análisis del sistema de control porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa o cómo estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros del sistema examinando los valores que causan inestabilidad. Consideraremos en el próximo apartado el problema de determinar el rango de estabilidad de un valor de parámetro.
Casos especiales del criterio Routh-Hurwitz.
Pueden ocurrir dos casos especiales: (1) La tabla de Routh a veces tendrá un cero solo en la primera columna de una fila, (2) La tabla de Routh a veces tendrá una fila completa que consta de ceros.
- Cero sólo en la primera columna de una fila. Si el primer elemento de una fila es cero, se requerirá una división por cero para formar la siguiente fila. Para evitar este fenómeno, se asigna un epsilon ε para reemplazar el cero en la primera columna. Luego se aproxima el valor de ε a cero desde el lado positivo o el negativo,y así se pueden determinar los signos de las entradas en la primera columna.
- Una fila entera está compuesta por ceros. Ahora miramos el segundo caso especial. A veces, al hacer una tabla de Routh, podemos encontrar que una fila entera consta de ceros porque hay un polinomio uniforme que es un factor del polinomio original. Este caso debe manejarse de manera diferente al caso anterior.
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