Diagrama de Bloques – Ejercicio Resuelto 2. -

Ejercicio DB-2: Obtener la función de transferencia G_(s)=C_(s)/R_(s) en el diagrama de bloques de la Figura 2, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.

Obtención de C_(s)/R_(s) por simplificación de diagrama de bloques.

Al resolver el siguiente ejercicio por álgebra de bloques, aplicamos las reglas de la tabla de equivalencias.

Paso 1. El primer sumador lo podemos transformar en dos sumadores en serie, y al mismo tiempo aplicamos la regla 2 de la tabla de equivalencias (asociación en serie) entre G6 y G7. En esa parte, el diagrama se reduce de la manera siguiente:

Paso 2. Aplicamos la regla de realimentación entre G2 y G6G7 (regla 8), obtenemos Geq1:

G_{eq1} = \frac{G_2}{1 + G_2G_6G_7}

Paso 3 . Transformamos el segundo sumador en dos sumadores en serie, y al mismo tiempo aplicamos asociación en serie entre G4 y G5. El diagrama se reduce de la manera siguiente:

Paso 4. Ahora aplicamos la regla 7 a la ganancia G4G5 (desplazamos el nodo hacia adelante). Obtenemos:

Paso 5 . Aplicamos la regla de realimentación entre H3 y G4G5, obtenemos Geq2:

G_{eq2} = \frac{G_4G_5}{1 + G_4G_5H_3}

Paso 6. Con estos cambios y operaciones, hemos reducido el diagrama como sigue:

Paso 7 . Aplicamos asociación en paralelo (regla 3) a las ramas de ganancia unitaria y G10 en serie con 1/G4G5. Obtenemos la Geq3:

G_{eq3} = 1 + \frac{G_{10}}{G_4G_5} = \frac{G_4G_5 + G_{10}}{G_4G_5}

Paso 8. Reducimos el diagrama de la manera siguiente:

Paso 9 . Aplicamos asociación en serie, se multiplican Geq2 con Geq3:

G_{eq2}G_{eq3} = (\frac{G_4G_5}{1 + G_4G_5H_3})(\frac{G_4G_5 + G_{10}}{G_4G_5})

G_{eq2}G_{eq3} = \frac{G_4G_5 + G_{10}}{1 + G_4G_5H_3}

Paso 10. Ahora aplicamos la regla 7 a la ganancia G3 (desplazamos el nodo hacia adelante y la ganancia hacia atrás). Obtenemos:

Paso 11 . Aplicamos simultáneamente asociación en serie (regla 2) y realimentación (regla 8) a las ramas de ganancias Geq1, G3 y H2, obtenemos Geq4:

G_{eq4} = \frac{\frac{G_2G_3}{1 + G_2G_6G_7}}{1 + \frac{G_2G_3}{1 + G_2G_6G_7}\ldotp (H_2)}

G_{eq4} = \frac{G_2G_3}{1 + G_2G_6G_7 + G_2G_3H_2}

Paso 12. Completado el paso 11, obtenemos el siguiente diagrama equivalente:

Paso 13 . Aplicamos la regla 4 a la ganancia obtenida en el paso 9 (Geq2 por Geq3) desplazando el sumador hacia atrás y la ganancia hacia adelante:

Paso 14. Aplicamos regla 1 e intercambiamos la posición de los sumadores. Simultáneamente reducimos la rama superior con asociación en serie:

Paso 15 . Aplicamos asociación en paralelo (regla 3) y realimentación negativa (regla 8). Obtenemos Geq5 y Geq6:

Paso 16. Con las reducciones del paso 15, obtenemos el siguiente diagrama equivalente::

Del paso 16 se deduce que la función de transferencia G_(s)=C_(s)/R_(s) de la Figura 2 es:

ANEXO: Tabla de equivalencias del álgebra de bloques.

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