Solución al Examen de Sistemas de Control 1-1

Examen de Sistemas de Control. Solución. Ejercicios resueltos.

PROBLEMA 1.1: Calcula la expresión de la salida v₀(t) en función del tiempo para el circuito RLC de la Figura 1, ante una entrada v_i(t)=u₀(t) (escalón unitario) con R=2 Ω, L=1 H y C=1/5 F. Considere las condiciones iniciales iguales a cero.

Respuesta 1.1

1er. Paso: Obtener el modelo equivalente del circuito en el dominio transformado de Laplace. Calcular V₀(s) utilizando divisor de voltaje:

Z_R = R = 2;\ \ \ Z_L = sL = s;\ \ \ Z_C = \frac{1}{sC} = \frac{5}{s}

V_0(s) = V_i(s)\frac{Z_L}{Z_R + Z_C + Z_L} = V_i(s)\frac{s}{2 + 5/ s + s}

V_0(s) = V_i(s)\frac{s^2}{s^2 + 2s + 5}

2do. Paso: Determinar la salida para una entrada escalón unitario y factorizar el denominador para aplicar el método de fracciones parciales:

V_i(s) = \frac{1}{s};\rightarrow V_0(s) = \frac{s^2}{s^2 + 2s + 5} \times \frac{1}{s} = \frac{s}{s^2 + 2s + 5}

s_{1,2} = \frac{ - 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} =  - 1 \pm 2j

V_0(s) = \frac{s}{(s + 1 - 2j)(s + 1 + 2j)}\Rightarrow

\Rightarrow V_0(s) = \frac{s}{(s + 1 - 2j)(s + 1 + 2j)} = \frac{k}{s + 1 - 2j} + \frac{k^*}{s + 1 + 2j}

\frac{s}{(s + 1 - 2j)(s + 1 + 2j)} = \frac{k(s + 1 + 2j) + k^*(s + 1 - 2j)}{(s + 1 - 2j)(s + 1 + 2j)}

s = k(s + 1 + 2j) + k^*(s + 1 - 2j)

3er. Paso: Determinar el valor de las constantes k y k^*, luego expresar la salida V₀(s) en término de sus fracciones parciales:

s =  - 1 + 2j

s = k(s + 1 + 2j) + k^*(s + 1 - 2j)\Rightarrow

\Rightarrow - 1 + 2j = k( - 1 + 2j + 1 + 2j) + k^*( - 1 + 2j + 1 - 2j)

 - 1 + 2j = k(4j)

k = \frac{ - 1 + 2j}{4j} = \frac{2.24 < 116.57\degree }{4 < 90\degree } = 0.56e^{j26.57}\Rightarrow

\Rightarrow k^* = 0.56e^{- j26.57}

 V_0(s) = \frac{k}{s + 1 - 2j} + \frac{k^*}{s + 1 + 2j}

\Rightarrow V_0(s) = \frac{0.56e^{j26.57}}{s + 1 - 2j} + \frac{0.56e^{- j26.57}}{s + 1 + 2j}

4to. Paso: Aplicar la antitransformada de Laplace utilizando la Tabla de transformadas típicas. Obtener la expresión para la salida en el tiempo v₀(t) del sistema eléctrico ante una entrada escalón unitario:

x(t) = e^{- at}u(t)\Rightarrow {\mathcal{L}}\left\{x(t)\right\} = X(s) = \frac{1}{s + a}

{\mathcal{L}}^{- 1}\left\{V_0(s)\right\} = v_0(t)

 v_0(t)={\mathcal{L}}^{- 1}\left\{\frac{0.56e^{j26.57}}{s + 1 - 2j} + \frac{0.56e^{- j26.57}}{s + 1 + 2j}\right\} 

{\mathcal{L}}^{- 1}\left\{\frac{0.56e^{j26.57}}{s + 1 - 2j}\right\}  =\left(0.56e^{j26.57}\right)e^{- (1 - 2j)t}u(t)

{\mathcal{L}}^{- 1}\left\{\frac{0.56e^{-j26.57}}{s + 1 + 2j}\right\}  =\left(0.56e^{-j26.57}\right)e^{- (1 + 2j)t}u(t)

 v_0(t)=\left(0.56e^{j26.57}\right)e^{- (1 - 2j)t}u(t)+\left(0.56e^{-j26.57}\right)e^{- (1 + 2j)t}u(t) \Rightarrow

\Rightarrow v_0(t) = 0.56(e^{j26.57}e^{- (1 - 2j)t} + e^{- j26.57}e^{- (1 + 2j)t})u(t)

\cos \theta  = \frac{1}{2}\left(e^{j\theta} + e^{- j\theta}\right)

v_0(t) = 0.56\left(e^{j(26.57 + 2t)} + e^{- j(26.57 + 2t)}\right)e^{- t}u(t)

\left(e^{j(26.57 + 2t)} + e^{- j(26.57 + 2t)}\right)=2\cos (26.57 + 2t) 

\boldsymbol v_0(\boldsymbol t) = 1.12\mathbf c\mathbf o\mathbf s(26.57 + 2\boldsymbol t)\boldsymbol e^{- \boldsymbol t}\boldsymbol u(\boldsymbol t)

PROBLEMA 1.2: Diseña el sistema de control de la Figura 2, determinando el valor de las constantes A, B y C (suponga una acción proporcional de control) para que la forma de la curva de la respuesta y(t) a una entrada x(t) escalón unitario sea la que muestra la Gráfica 1.

Respuesta 1.2

1er. Paso: Utilizando las reglas del álgebra de bloques que definimos en Diagrama de Bloques, simplificaremos el diagrama de la Figura 2 hasta determinar la Función de Transferencia Y(s)/X(s) :

Transformamos el sumador en dos sumadores en serie en el orden que más conviene para aplicar la regla 8. Aplicamos la regla 7 a la rama de la ganancia B:

Aplicamos la regla 2 a la asociación en serie:

Aplicamos la regla 8 a la realimentación negativa:

\boldsymbol G_{\boldsymbol e1}(\boldsymbol s) = \frac{\frac{\boldsymbol A}{\boldsymbol s^2}}{1 + \frac{\boldsymbol A}{\boldsymbol s^2} \times C} = \frac{A}{s^2 + AC}

Aplicamos la regla 8 a la realimentación negativa:

\boldsymbol G_{\boldsymbol e2}(\boldsymbol s) = \frac{\frac{A}{s^2 + AC}}{1 + \frac{A}{s^2 + AC} \times Bs} = \frac{A}{s^2 + ABs + AC}

De donde obtenemos que la Función de Transferencia del sistema es:

\frac{\boldsymbol Y(\boldsymbol s)}{\boldsymbol X(\boldsymbol s)} = \frac{\boldsymbol A}{\boldsymbol s^2 + \boldsymbol A\boldsymbol B\boldsymbol s + \boldsymbol A\boldsymbol C}

Se observa gracias al resultado anterior que el sistema de la Figura 2 es un sistema de segundo grado y por tanto, podemos utilizar la forma estándar de La Función de Transferencia de un Sistema de Segundo Orden :

\boldsymbol G(\boldsymbol s) = \frac{\boldsymbol K\boldsymbol \omega_{\boldsymbol n}^2}{\boldsymbol s^2 + 2\boldsymbol \zeta \boldsymbol \omega_{\boldsymbol n}\boldsymbol s + \boldsymbol \omega_{\boldsymbol n}^2}

Dónde:

\boldsymbol K: Ganancia \ Estática;\ \ \ \  \boldsymbol \omega_{\boldsymbol n}:Frecuencia\ natural\  no\ amortiguada;\ \ \ \boldsymbol \zeta: Coeficiente\ de\ Amortiguamiento

Para repasar la teoría ver: Sistemas de Segundo Orden.

2do. Paso: Utilizamos la forma estándar de la Función de Transferencia de un sistema de segundo orden y la Gráfica 1 para determinar el valor de los parámetros del sistema:

\boldsymbol M_{\boldsymbol p} = \boldsymbol e^{- \frac{\boldsymbol \pi }{\boldsymbol t_{\boldsymbol g}(\boldsymbol \theta )}}\Rightarrow \mathbf l\mathbf n\left(\boldsymbol M_{\boldsymbol p}\right) =  - \frac{\boldsymbol \pi }{\boldsymbol t_{\boldsymbol g}(\boldsymbol \theta )}\Rightarrow

\Rightarrow \boldsymbol t_{\boldsymbol g}(\boldsymbol \theta ) =  - \frac{\boldsymbol \pi }{\mathbf l\mathbf n\left(\boldsymbol M_{\boldsymbol p}\right)}

\% \boldsymbol M_{\boldsymbol p} = 16.3\% \Rightarrow \boldsymbol M_{\boldsymbol p} = 16.3 \times \frac{1}{100} = 0.163\Rightarrow

\Rightarrow \boldsymbol t_{\boldsymbol g}(\boldsymbol \theta ) =  - \frac{\boldsymbol \pi }{\mathbf l\mathbf n\left(0.163\right)} = 1.7318

\Rightarrow \boldsymbol \theta  = \boldsymbol t_{\boldsymbol g}^{- 1}(1.7318) \approx 60\degree 

\zeta  = cos(\theta ) = {\mathrm{\cos }}\left(60\degree \right)

Coeficiente\ de\ Amortiguamiento:\ \ \  \boldsymbol \zeta  = 0.5

Ganancia\ Estática:\ \ \  \boldsymbol K= 0.25

t_p = \frac{\pi }{\omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}}\Rightarrow \omega_n = \frac{\pi }{t_p\sqrt{1 - \zeta^2}} 

\omega_n = \frac{\pi }{(45.34 \times 10^{- 3})\sqrt{1 - (0.5)^2}}

Frecuencia\ natural\  no\ amortiguada:\ \ \ \boldsymbol \omega_{\boldsymbol n} = 80\ \boldsymbol r\boldsymbol a\boldsymbol d/ \boldsymbol s

3er. Paso: Una vez calculados los valores de los parámetros del sistema, sustituimos dichos valores en la forma estándar de la Función de Transferencia de un sistema de segundo orden. Luego igualamos esta forma estándar con la Función de Transferencia obtenida en el paso 1 y despejamos los valores para las constantes A, B y C .

\frac{\boldsymbol Y(\boldsymbol s)}{\boldsymbol X(\boldsymbol s)} =\frac{\boldsymbol K\boldsymbol \omega_{\boldsymbol n}^2}{\boldsymbol s^2 + 2\boldsymbol \zeta \boldsymbol \omega_{\boldsymbol n}\boldsymbol s + \boldsymbol \omega_{\boldsymbol n}^2}=\frac{(0.25)(80)^2}{\boldsymbol s + 2(0.5)(80)\boldsymbol s + (80)^2}

\frac{\boldsymbol Y(\boldsymbol s)}{\boldsymbol X(\boldsymbol s)}= \frac{1600}{\boldsymbol s + 80\boldsymbol s + 6400}

 \frac{1600}{\boldsymbol s + 80\boldsymbol s + 6400}=\frac{\boldsymbol A}{\boldsymbol s^2 + \boldsymbol A\boldsymbol B\boldsymbol s + \boldsymbol A\boldsymbol C}

\boldsymbol A= \boldsymbol 1600

AB=80\Rightarrow\boldsymbol B= \boldsymbol 0.05

AC=6400\Rightarrow\boldsymbol C= \boldsymbol 4

PROBLEMA 1.3: Dada la función de transferencia directa G(s) para un sistema de control con realimentación unitaria. Se pretende controlar un sistema motor-reductor para un brazo robótico:

\boldsymbol G(\boldsymbol s) = \frac{1}{\boldsymbol s^2 + 3\boldsymbol s + 2}

• Si se busca un tiempo de asentamiento de 0.9 s y un sobrepaso máximo del 5%, ¿Cuál debería ser la posición de los polos dominantes del sistema en el plano complejo?
• Diseñe el regulador PID que consiga cumplir con los requerimientos temporales anteriores.

Respuesta 1.3

1er. Paso: Aplicamos la teoría aprendida en Sistemas de Segundo Orden para calcular los polos dominantes o polos deseados según las especificaciones de diseño dadas en términos del tiempo de asentamiento y el sobrepaso máximo:

\boldsymbol s_{1,2} =  - \boldsymbol \sigma  \pm\boldsymbol j\boldsymbol \omega_{\boldsymbol d}

\boldsymbol \sigma  = \boldsymbol \zeta \boldsymbol \omega_{\boldsymbol n\boldsymbol ;}\ \ \ \ \boldsymbol \omega_{\boldsymbol d} = \mathbf \omega_{\mathbf n}\sqrt{1 - \boldsymbol \zeta^2}

t_s = \frac{\pi }{\sigma }\Rightarrow \sigma  = \frac{\pi }{t_s} = \frac{\pi }{0.9\ s}\Rightarrow \boldsymbol \sigma  = 3.49\ rad/ s

\boldsymbol M_{\boldsymbol p} = \boldsymbol e^{- \frac{\boldsymbol \pi }{\boldsymbol t_{\boldsymbol g}(\boldsymbol \theta )}}\Rightarrow \sigma  = \ln (M_p) =  - \frac{\pi }{t_g\theta }\Rightarrow t_g\theta  =  - \frac{\pi }{\ln (M_p)} 

t_g\theta  =  - \frac{\pi }{\ln (0.05)} = 1.048\Rightarrow \theta  = t_g^{- 1}(1.048) = 46.36\degree 

\zeta  = cos(46.36\degree )\Rightarrow \boldsymbol \zeta  = 0.69

\omega_n = \frac{\sigma }{\zeta } = \frac{3.49}{0.69}\Rightarrow \boldsymbol \omega_{\boldsymbol n} = 5.06

\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2} = (5.06)\sqrt{1 - (0.69)^2\Rightarrow }\boldsymbol \omega_{\boldsymbol d} = 6.44

\boldsymbol s_1 =  - 3.49 + \boldsymbol j3.66

\boldsymbol s_2 =  - 3.49 - \boldsymbol j3.66

2do. Paso: Para diseñar el regulador PID, aplicaremos el algoritmo presentado en Diseño del PID mediante LGR :

Paso 2.1: Dibujar el LGR y localizar los P_ds . En base a los requerimientos de diseño dados en términos del tiempo de asentamiento y el sobrepaso máximo, ya hemos calculado en el paso anterior los P_ds :

\boldsymbol s_1 =  - 3.49 + \boldsymbol j3.66

\boldsymbol s_2 =  - 3.49 - \boldsymbol j3.66

El sistema a controlar es un sistema de segundo orden un Tipo 0:

\boldsymbol G(\boldsymbol s) = \frac{1}{\boldsymbol s^2 + 3\boldsymbol s + 2}

La función G(s) tiene dos polos en s= – 1 y s= – 2:

G(s) = \frac{1}{\left(s + 1\right)\left(s + 2\right)}

G(s) es la Función de Transferencia Directa de un sistema de control a lazo cerrado con realimentación unitaria como el de la Figura 1:

La Figura 1 representa el sistema de control antes de añadir el controlador PID (antes de la compensación). Para dibujar el LGR necesitamos conocer G(s)H(s), la Función de Transferencia del sistema de control a lazo abierto. En este caso, como la realimentación es unitaria , obtenemos que G(s)H(s)=G(s).

Para dibujar el LGR manualmente ver El Lugar Geométrico de las Raíces . Por economía de espacio utilizaremos el siguiente código en la consola de Matlab:

>> G=tf([1],[1 3 2]);
>> rlocus(G)
>> title('LGR ejer1.3 exa1 antes de la compensación')

El LGR lo podemos ver en la Figura 2. Es evidente que los polos deseados s₁ y s₂ no pertenecen al LGR del sistema de control de la Figura 1.

Paso 2.2: Incorporamos Acción Necesaria: Proporcional-Derivativa. El LGR de la Figura 2 nos demuestra que los polos deseados s₁ y s₂ no pertenecen al LGR. Debemos cumplir con los requerimientos de respuesta transitoria, por lo que es necesaria la acción derivativa para obligar al LGR a incluir los polos deseados. De acuerdo con Controlador PID, para aplicar la acción proporcional-derivativa (PD), el controlador deberá tener la siguiente función de transferencia:

Controlador\ PD:G_c(s) = K(s + a)

La acción derivativa del controlador PID añade un cero en s = – a . La Figura 3 muestra como añadir el controlador PD al sistema de la Figura 1:

Añadimos este controlador al sistema de la Figura 1:

Debemos ajustar la constante a mediante el criterio del argumento, hasta que el LGR pase por los Polos dominantes. Ajustar luego K mediante el criterio del módulo.

En la Figura 4 aparecen los factores para aplicar el criterio del argumento (para repasar este tema ver El Lugar Geométrico de las Raíces ):

Paso 2.3: Calcular el valor de la constante «a» aplicando el criterio del argumento. En la Figura 4 observamos el punto de prueba “s” cercano al polo dominante deseado s₁:

s =  - 3.49 + j3.66

Los polos ubicado en s = – 1 y s = – 2 pertenecen al LGR del sistema. Es importante notar que la función de transferencia a lazo abierto cambia (ahora es el producto G_c(s)G(s)) .

Calcularemos el valor de a mediante El Criterio del Ángulo:

\angle G_c(s)G(s) =  \pm 180\degree \ldotp (2q + 1);\ \ \ \ q = 0,1,2.\ldotp \ldotp 

De todas las opciones posibles que nos ofrece la ecuación anterior seleccionamos la que más nos convenga:

\angle G_c(s)G(s) = \sum polos - \sum ceros = 180\degree \Rightarrow 

Tomando en cuenta las notaciones asignadas a los ángulos de la Figura 4:

\Rightarrow (\alpha_1 + \alpha_2) - \beta  = 180\degree 

Utilizando la Figura 4 obtenemos el valor de cada ángulo (Los ángulos de las variables complejas sobre el LGR y que inician en los polos y ceros en lazo abierto, se miden en sentido contrario a las manecillas del reloj):

\alpha_1 = 180\degree  - t_g^{- 1}\left(\frac{3.66}{3.49 - 1}\right) = 180\degree  - 55.77\degree\Rightarrow \boldsymbol \alpha_1 = 124\ldotp 23\degree 

\alpha_2 = 180\degree  - t_g^{- 1}\left(\frac{3.66}{3.49 - 2}\right) = 180\degree  - 67.85\degree \Rightarrow \boldsymbol \alpha_2 = 112\ldotp 15\degree

En consecuencia:

\Rightarrow \beta  = 124.23\degree  + 112.15\degree   - 180\degree  = 56\ldotp 38\degree 

t_g\left(\beta \right) = t_g\left(56.38\degree \right) = 1.50

t_g\left(\beta \right) = \frac{3.66}{\boldsymbol a - 3.49} = 1.50\Rightarrow \boldsymbol a = 5.92

Conociendo el valor de «a» sabemos que el controlador PD tiene la siguiente FT:

Controlador\ PD:G_c(s) = K(s + 5.92)

Es decir, la Función de Transferencia a lazo abierto es:

G_c(s) G(s)= K\frac{(s + 5.92)}{(s + 1)(s + 2)}

La Función de Transferencia a lazo abierto nos permite dibujar el LGR del sistema de control después de la compensación:

>> G=tf([1],[1 3 2]);
>> Gc=tf([1 5.92],[1]);
>> K=1;
>> GH=K.*Gc*G;
>> rlocus(GH)
>> title('LGR ejer1.3 exa1 después de la compensación PD')

Un zoom nos permite comprobar que los P_ds ahora pertenecen al LGR, y que en esos puntos se cumple el sobrepaso solicitado (overshoot 4.98%):

Paso 2.4: Ajustar el valor de la constante K aplicando el Criterio del Módulo. Ajustar K es colocar el sistema en el punto adecuado del LGR tal que las raíces del sistema a lazo cerrado estén localizadas en el punto resaltado en la Figura 6.  El siguiente script de Matlab nos permite ver cuáles son las raíces del polinomio característico (los polos del sistema a lazo cerrado) cuando K=1.

>> G=tf([1],[1 3 2]);
>> Gc=tf([1 5.92],[1]);
>> K=1;
>> GH=K.*Gc*G;
>> sys=feedback(GH,1);
>> damp(sys)
                                                                       
         Pole              Damping       Frequency      
                                       (rad/seconds)         
          
 -2.00e+00 + 1.98e+00i     7.11e-01       2.81e+00             
 -2.00e+00 - 1.98e+00i     7.11e-01       2.81e+00          

De acuerdo con el resultado anterior, cuando K=1 los polos del sistema a lazo cerrado son s₁= – 2 +j1.98 y s₂= – 2 -j1.9 .

Para que las raíces del polinomio característico coincidan con los P_ds , vamos a ajustar la Ganancia K mediante el Criterio del Módulo. Para esto se consideran los módulos de las distancias entre cada cero y cada polo al punto de prueba “s”, tal como lo representa la Figura 7:

El Criterio del Módulo expresa que:

\boldsymbol G_{\boldsymbol c}(\boldsymbol s)\boldsymbol G(\boldsymbol s) =  - \frac{1}{\boldsymbol K}

De dónde obtenemos que:

K = \frac{1}{\left|G_c\left(s\right)G\left(s\right)\right|} = \frac{\left|s + 1\right| \times \left|s + 2\right|}{\left|s + 5.92\right|} = \frac{d_{p1} \times d_{p2}}{d_c}\Rightarrow 

K = \frac{\sqrt{\left(3.49 - 1\right)^2 + \left(3.66\right)^2} \times \sqrt{\left(3.49 - 2\right)^2 + \left(3.66\right)^2}}{\sqrt{\left(5.92 - 3.49\right)^2 + \left(3.66\right)^2}}\Rightarrow \boldsymbol K = 3.9831

En el siguiente script vemos cuáles son los polos del sistema a lazo cerrado cuando K=3.9831 :

>> G=tf([1],[1 3 2]);
Gc=tf([1 5.92],[1]);
>> K=3.9831;
>> GH=K.*Gc*G

GH =
 
  3.983 s + 23.58
  ---------------
   s^2 + 3 s + 2
>> sys=feedback(GH,1);
>> damp(sys)
                                                                       
         Pole              Damping       Frequency      
                                       (rad/seconds)         
                                                                       
 -3.49e+00 + 3.66e+00i     6.90e-01       5.06e+00          
 -3.49e+00 - 3.66e+00i     6.90e-01       5.06e+00           

El resultado anterior muestra que seleccionando la Ganancia K=3.9831 los polos del sistema a lazo cerrado son s₁= – 3.49 +j3.66 y s₂= – 3.49 -j3.66 , que son los polos dominantes deseados. Utilizando el script anterior podemo averiguar el valor del tiempo de asentamiento (settling Time 1.02 s). No es exactamente lo que se solicitaba pero resulta una aproximación aceptable.

>> stepinfo(sys)

         RiseTime: 0.2698
         SettlingTime: 1.0201            

En conclusión, el regulador PID necesario para cumplir con los requerimientos temporales de diseño, tiene la siguiente Función de Transferencia:

G_c = 3.9831(\mathbf s + 5.92)

La siguiente simulación muestra la respuesta del sistema de control a la entrada escalón unitario, antes y después de la compensación PD:

>> sys2=feedback(G,1);
>> step(sys,sys2)           

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Prof. Larry. Estudios:

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, USB Valle de Sartenejas.

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, UCV CCs